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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Seja:

f x = x x

  1. Usando a definição, calcule a derivada de f x para todo x ≠ 0 .
  2. A derivada existe em x = 0 ?

Passo 1

Pela definição a derivada será dada pelo limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Como temos x no problema, o ideal é dividi-lo para x > 0 e x < 0 , pois x = x e x = - x nas respectivas condições.

Dessa maneira, para x > 0 , f x = x 2 . Substituindo os valores e distribuindo:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h = l i m h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h =

Deixando o h em evidência para tentar cortar: l i m h → 0 h h + 2 x h = lim h → 0 ⁡ h + 2 x = 2 x

Passo 2

Agora vamos ver para x < 0 , onde x = - x e f x = - x 2 : lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ - x + h 2 + x 2 h = l i m h → 0 - x 2 - 2 x h - h 2 + x 2 h

Deixando o h em evidência para tentar cortar:

l i m h → 0 - h h + 2 x h = lim h → 0 ⁡ - h + 2 x = - 2 x

Assim, a derivada da função é:

f ' x = - 2 x ,       x < 0 2 x ,       x > 0

Passo 3

Agora, para a letra b , a derivada existe se:

f ' 0 + = f ' 0 -

E a função for contínua em x = 0 . Para a primeira, condição temos: f ' 0 + = 2 ⋅ 0 = 0

f ' 0 - = - 2 ⋅ 0 = 0

Logo:

0 = 0

Ok, até aqui. Quando a continuidade, precisamos que:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Substituindo: lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 = 0

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ x 2 = 0

f 0 = 0

Assim, a derivada existe e é igual a zero.

Resposta

(a)

f ' x = - 2 x ,       x < 0 2 x ,       x > 0

(b) Existe e é igual a zero.

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