Força e Torque sobre uma Espira, Lei de Ampère, Lei de Faraday, Lei de Lenz
A figura mostra uma barra retilínea condutora, de massa , comprimento e resistência elétrica , movendo-se com uma velocidade constante ao longo de trilhos condutores, retilíneos horizontais, fixos.
Tal circuito está sob ação de um campo magnético gerado por uma corrente elétrica estacionária fluindo por um fio retilíneo longo, paralelo à barra e no mesmo plano do circuito.
A resistência dos trilhos, assim como a capacitância e a autoindutância do circuito e a indutância mútua entre o circuito e o fio retilíneo (de corrente ) podem e devem ser desprezadas.
Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, , como função da distância da barra ao fio, explicitando, ademais, o sentido de tal corrente.
[Sugestão: não precisa deduzir o campo magnético de uma corrente retilínea estacionária, muito longa.]
Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de .
Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.
Passo 1
Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no circuito, , como função da distância da barra ao fio, explicitando, ademais, o sentido de tal corrente.
Vamos por partes... para calcular a corrente elétrica no circuito, primeiro vamos ter que calcular a induzida , de forma que:
A induzida, de acordo com a lei de Faraday, é dada por:
Então vamos precisar calcular o fluxo magnético, definido por:
Mas antes, teremos que encontrar a expressão do campo magnético gerado pelo fio de corrente , que é calculado através da lei de Ampère, dada por:
Então, no fim, serão mais 4 passos... viu o tamanho do drama?
Mas nós damos conta!
Passo 2
Por conta da simetria do problema, a amperiana será uma circunferência de raio , logo:
Pela regra da mão direita, na região da espira, o campo magnético está saindo do plano da página.
Passo 3
O elemento de área será dado por:
Portanto:
Passo 4
Beleza! Vamos agora calcular a força eletromotriz:
Temos do Passo 3 que:
Logo:
Como é constante, podemos tirar da derivada:
Agora temos que calcular a derivada:
Mas nada mais é que . Logo:
Passo 5
Para determinar o sentido da corrente, vamos ter que recorrer à lei de Lenz, que diz:
O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.
Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:
Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.
Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.
Vamos calcular, então, a taxa de variação do fluxo magnético:
Assim, o campo magnético induzido deve estar no sentido oposto ao campo magnético gerado pelo fio infinito, ou seja, entrando no plano da página.
Para que o campo magnético induzido entre no plano, é necessário que a corrente esteja no sentido horário.
Passo 6
Obtenha uma expressão para a taxa temporal de dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como função de .
A “taxa de dissipação de energia” é a mesma coisa que “potência dissipada”, que é dada por:
Logo:
Passo 7
Obtenha uma expressão para a força externa que precisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade constante.
Para manter a barra com velocidade constante, a força externa deve ter a mesma direção da força magnética sobre a barra e sentido oposto, de forma que:
A força magnética sobre a barra é dada por:
Logo:
Substituindo o a expressão de , teremos:
Portanto:
Resposta
A corrente está no sentido horário.