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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana monocromática que se propaga no vácuo é dado por E → z , t = E 0 sin ⁡ 2 π β z + γ t i ^ , onde β > 0 e γ > 0 são constantes.

(a) (0,5 ponto) Determine a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência desta onda em função das constantes β e γ .

(b) (0,5 ponto) Que relação deve haver entre β e γ para que o campo E → ( z , t ) satisfaça a equação de ondas eletromagnéticas no vácuo?

(c) (0,5 ponto) Expresse o campo magnético B → em função de E 0 , β , γ e da velocidade da luz no vácuo c .

(d) (1,0 ponto) Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.

Passo 1

O vetor de Poynting no instante t é dado por:

S → = 1 μ 0 E → × B → .

Os vetores E → e B → são dados, respectivamente, por:

E → z , t = E 0 sin ⁡ 2 π β z + γ t i ^ ,

B → = - E 0 c sin ⁡ 2 π β z + γ t j ^ .

Assim sendo,

S → = - E 0 2 μ 0 c sin 2 ⁡ 2 π β z + γ t k ^ .

Passo 2

Para calcular a densidade de energia média < u > , precisamos calcular inicialmente o valor médio temporal de S , < S > . A partir daí, utilizamos a expressão < u > = < S > c .

Vamos manipular a expressão acima para calcular < S > . Sabemos que o valor médio temporal de uma função cosseno é nulo. Por isso, usamos a igualdade trigonométrica sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 na fórmula de S :

S = E 0 2 2 μ 0 c 1 - cos ⁡ 4 π β z + γ t   .

O valor médio de S será, portanto,

< S > = E 0 2 2 μ 0 c .

Logo,

< u > = E 0 2 2 μ 0 c 2 .

Resposta

O vetor de Poynting instantâneo é dado por:

S → = - E 0 2 μ 0 c sin 2 ⁡ 2 π β z + γ t k ^ .

A densidade de energia média é dada por:

< u > = E 0 2 2 μ 0 c 2 .

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