UFRJ, Física 4, P1 2018.1, 1
O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado pela fórmula
Em função dos dados do enunciado e das constantes fundamentais dadas no formulário (substitua os valores, por exemplo use m/s), calcule e responda o que se pede.
(a) Determine i) a direção o e o sentido de propagação, ii) o vetor número de onda, iii) a frequência e iv) o comprimento de onda da onda eletromagnética.
(b)Determine o vetor campo magnético da onda eletromagnética.
(c)Calcule o vetor de Poynting e a intensidade da onda eletromagnética.
Passo 1
Para o nosso primeiro objetivo precisamos analisar uma fórmula completa do campo elétrico e relembrar alguns conceitos muito importantes, então vamos lá, na forma geral a fórmula é.
Sabemos que essa fórmula em comparação a que está no nosso enunciado nos fornece alguns dados importante e a partir dela conseguimos definir alguns parâmetros.
O primeiro é que o valor de K se refere ao valor que multiplica Z, dessa forma encontramos facilmente que o valor de k vai ser
Sendo esse valor na direção da variável que ele multiplica, sendo nesse caso na direção Z.
Também sabemos que para determinarmos o sentido precisamos saber que quando o termo está se somando a direção de propagação da onda vai no sentido contrario ao do eixo de propagação, enquanto que quando esses termos se subtraem a nossa propagação ocorre na direção positiva,
Nesse caso percebemos que como esses termos se somam a nossa onda se propaga na direção negativa do eixo z, ou seja, a direção de propagação dessa onda é , respondendo assim o item 1 da letra a.
Também já definimos o modulo do nosso número de onda, mas como o item 2 pede o vetor podemos escreve-lo da seguinte forma
Para o terceiro item precisamos lembrar que
ou seja, o valor do nosso comprimento de onda depende apenas de k, que já possuímos. Logo teremos que o comprimento de onda será.
mas porque calculamos o comprimento de onda? Exatamente para podermos achar a frequência, lembra das formula?
Em que a nossa velocidade é a da luz e o comprimento de onda é o que acabamos de calcular, dessa forma fica bem mais fácil entender o motivo de calcularmos o comprimento de onda.
Sabendo que
teremos que a nossa frequência será
Passo 2
Antes de começarmos o item B devemos nos lembrar que o campo magnético é dado pela fórmula
Em que K é o nosso vetor unitário na direção –Z e o campo elétrico é o nosso campo conhecido, percebemos que se trata de um produto vetorial então precisaremos calcular o determinante. Sabemos que precisamos escrever o vetor propagação de onda e campo magnético de uma forma coerente para que possamos fazer o cálculo, sabemos que o formato de será.
Lembrando que nesse caso usamos o valor de -1 pois se trata do unitário nessa direção, se por acaso quiséssemos o vetor K usaríamos o seu valor de módulo (.
Da mesma forma também podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma
Claro que fazer os cálculos com o determinante dessa forma seria absurdo, por isso simplificarei o cálculo escrevendo o campo elétrico pelos seus módulos, apenas para facilitar,
Montando o determinante teremos
Resolvendo esse determinamos chegamos ao valor de
Agora que determinamos o campo magnético basta substituirmos os nossos valores gigantescos nessa conta para
Reorganizando e escrevendo da forma correta teremos que o nosso campo magnético será
Passo 3
No item C nos é pedido o vetor de poynting e a sua intensidade, que no caso ele chama de intensidade de onda eletromagnética, vamos resolver a primeira parte e depois nos preocuparemos com a segunda.
Sabemos que o vetor de poynting é dado pela fórmula
Em que novamente temos um produto vetorial que pode ser resolvido pelo seguinte determinante
E
Como você pode ver, esses valores são gigantescos, então faremos a seguinte simplificação.
E
Colocando esses valores no nosso determinante teremos
E no fim teremos a fórmula
Podemos reescrever esse vetor da seguinte forma
Agora você deve estar pensando o quão chato vai ser trocar aqueles valores gigantes na formula final, mas perceba o seguinte, os termos de possuem o mesmo modulo e a mesma parte trigonométrica, apenas o que muda é que está dividido por C.
Da mesma forma o termo se comporta da mesma forma, possuindo o mesmo modulo e parte trigonométrica trocando apenas o fato de o fator magnético estar dividido por C.
Dessa forma vamos colocar em evidencia e sabemos que o que sobrar vai estar ao quadrado, tanto o modulo quanto a parte trigonométrica.
Passo 4
Além do vetor de poynting também era pedido o valor da intensidade da onda eletromagnética, e para isso vale lembrar o seguinte, para esse caso, o cálculo da intensidade da onda será dado pela média temporal da amplitude do vetor de poynting. Mas sabemos que esses cálculos são muito complicados.
Como no formulário nos é dito que a média temporal do quadrado das funções trigonométricas são
Encontramos que para a média temporal das amplitudes teremos
Resolvendo essa continha teremos que
Resposta
a)i)
ii)
iii)
iv)
b)
c)