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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Ondas Eletromagnéticas, Vetor de Poynting e Pressão de Radiação

Uma onda eletromagnética plana tem o vetor campo magnético dado por

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

  1. Determine: a direção e sentido de propagação da onda.
  2. Determine o vetor campo elétrico associado a esta onda.
  3. Calcule o vetor de Poynting.
  4. Calcule a intensidade da onda.

Passo 1

Letra a)

O problema nos pede para descobrir a direção e sentido de propagação da onda.

Esta questão é diferente das outras pelo fato do campo magnético B → ter componentes em duas direções.

Mas fica tranquilo, não é um bicho de 7 cabeças! Vamos seguir a frente de onda, ou seja, é como se eu enxergasse a onda parada. Isto quer dizer que o argumento do cosseno tem que ser constante! Vamos analisar esse cara, então:

π 2 z - ω t

Para que o argumento permaneça constante, conforme o tempo t aumenta, é necessário que o valor de z também aumente.

Logo, a onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Passo 2

Letra b)

O problema nos pede para calcular o vetor de campo elétrico E → .

Sabemos que E → é perpendicular a B →

O vetor possui B → possui duas componentes, nos sentidos x ^ e ( - y ^ ) .

Então vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse problema em duas partes, trabalhando como cada componente separadamente, ok?

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ; ( i )

B y → = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ; ( i i )

Passo 3

(i)

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ;

Sabemos que a onda se propaga no sentido + z ^ , então temos que encontrar o componente E 1 → tal que o produto vetorial E → 1 × B → x tenha o resultado no sentido + z ^ .

Sabemos também que E → 1 é perpendicular a B → x e a z ^ . Assim, E → 1 só pode estar no eixo y .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 1 tem o sentido do vetor - y ^ .

- y ^ × x ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 1 , basta usar a relação:

E 1 = c B x

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 1 = 3,0 × 10 8 × 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 1 = 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 1 = - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 4

(ii)

B → y = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T

O raciocínio é o mesmo do caso anterior.

Agora, E → 2 é perpendicular a B → y e a z ^ . Portanto, E → 2 só pode estar no eixo x .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 2 tem o sentido do vetor - x ^ .

- x ^ × - y ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 2 , basta usar a relação:

E 2 = c B y

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 2 = 3,0 × 10 8 × 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 2 = 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 2 = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^

Logo:

E → = E → 1 + E → 2

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 5

Letra c)

O problema nos pede para calcular o vetor de Poynting S → .

O vetor de Poynting S → é dado por

S → = E → × B → μ 0

Onde:

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^ V m ;

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

μ 0 = 4 π × 10 - 7 N / A 2 ;

Pra facilitar a vida vamos escrever

E → = E x x ^ + E y y ^

E

B → = B x x ^ + B y y ^

Assim o produto vetorial fica

E → × B → = E x x ^ + E y y ^ × B x x ^ + B y y ^  

E → × B → = E x B x x ^ × x ^ + E x B y x ^ × y ^ + E y B x y ^ × x ^ + E y B y y ^ × y ^

Como x ^ × x ^ = y ^ × y ^ = 0 , x ^ × y ^ = z ^ e y ^ × x ^ = - z ^ , temos

E → × B → = E x B y z ^ + E y B x - z ^ = E x B y - E y B x z ^

Olhando pros campo lá em cima

E x B y = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t × - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E x B y = 48 π 2 × 10 8 sen 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E

E y B x = - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t × 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E y B x = - 48 π 2 × 10 8 cos 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Assim finalmente fazendo E → × B → = E x B y - E y B x z ^

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 sen 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t - - 48 π 2 × 10 8 cos 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t   z ^

Botando 48 π 2 × 10 8 em evidência e lembrando que s e n θ 2 + cos ⁡ θ 2 = 1

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 z ^

Logo:

S → = 48 π 2 × 10 8 4 π × 10 - 7   z ^

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Passo 6

Letra d)

O problema nos pede para descobrir a intensidade I da onda.

Quando estudamos o vetor de Poynting, vimos que

I = S médio

Mas como o módulo do vetor de Poynting, neste caso, não varia com o tempo, podemos dizer que

I = S = 1,2   π × 10 16       W / m 2

Resposta

Letra a)

A onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Letra b)

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Letra c)

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Letra d)

I = 1,2   π × 10 16       W / m 2

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