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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Vetor de Poynting e Pressão de Radiação, Equações de Maxwell, Ondas Eletromagnéticas

Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com velocidade c = 3,00 × 10 8   m / s no eixo x . O campo de indução magnética B → oscila no eixo o z com B m = 2,00 × 10 - 8   T , k = 850   m - 1 e ω = 25,5 × 10 10 r a d / s . Esse campo é representado pela expressão B z → x , t = 2,00 × 10 - 8 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( k ^ ) .

a ) Determine a expressão do vetor campo elétrico E y → ( x , t ) a partir da equação de Maxwell:

∇ × B → = μ 0 . J → + μ 0 . ε 0 . ∂ E → ∂ t

b ) Encontre o vetor de Poynting S → ( x , t ) .

Passo 1

a )

Para determinar E y → x , t , vamos, primeiramente, calcular o rotacional de B → depois, podemos calcular o campo elétrico atráves da equação de Maxwell, que ficará ainda mais simples, pois, como estamos no vácuo, J → = 0 .

Passo 2

Vamos agora calcular o rotacional de B → :

∇ × B → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 0 0 B z

∇ × B → = ∂ B z ∂ y i ^ - ∂ B z ∂ x j ^ = - ∂ B z ∂ x j ^

∇ × B → = - ∂ B z ∂ x j ^ = - 2,00 × 10 - 8 . 850 . cos ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( j ^ )

Passo 3

Agora que temos o valor do rotacional, podemos substituir na equação de Maxwell:

∇ × B → = μ 0 . ε 0 . ∂ E → ∂ t

- 2,00 × 10 - 8 . 850 . cos ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( j ^ ) = 1 c 2 . ∂ E → ∂ t

- 2,00 × 10 - 8 . 850 . 3,00 × 10 8 2 . cos ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( j ^ ) = ∂ E → ∂ t

Efetuando a integração, temos:

E y → x , t = - 2,00 × 10 - 8 . 850 . 3,00 × 10 8 2 - 25,5 × 10 10 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π j ^

E y → x , t = 6,00 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π j ^   V / m

Passo 4

b )

Para determinar o vetor de Poynting, devemos lembrar da seguinte relação:

S → = 1 μ 0 . E → × B →

Vamos primeiro, calcular o produto vetorial:

E → × B → = 6,00 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π j ^   × 2,00 × 10 - 8 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π k ^

E → × B → = 1,2 × 10 - 7 . sen 2 ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( i ^ )

Substituindo na fórmula do vetor de Poynting, temos:

S → = 1 12,56 × 10 - 7 . 1,2 × 10 - 7 . sen 2 ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π ( i ^ )

S → = 0,0955 . sen 2 ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π i ^   W / m 2

Resposta

a ) E y → x , t = 6,00 . sen ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π j ^   V / m

b ) S → = 0,0955 . sen 2 ⁡ 850 . x - 25,5 × 10 10 . t + π i ^   W / m 2

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