Origem do Exercício
Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com velocidade .
O campo de indução magnética está no eixo e tem , , , sendo dado por uma função cossenoidal dotada de uma constante de fase .
- Determine a expressão do vetor campo elétrico a partir da equação de Maxwell .
- Encontre o vetor de Poynting e intensidade () dessa onda.
Passo 1
Letra a)
O campo magnético é dado por uma função cosseno. Colocando os dados do enunciado:
No vácuo, como não temos cargas elétricas, a densidade de corrente é zero.
E temos então:
A melhor forma para tentarmos lembrar a forma de um rotacional é por um determinante.
O que nos dá:
Porém, pela equação que nos dá , sabemos que:
E que só depende de e de . Com isso:
Onde, igualando as componentes, temos:
Sendo o campo magnético paralelo ao eixo , podemos dizer que , pois o campo elétrico deve ser perpendicular ao campo magnético.
Além disso, o campo elétrico e magnético devem oscilar em fase. Por isso, quando , temos que ter .
Mas para um vetor composto de dois componentes ser zero, ambas suas componentes devem ser zero. Como é constante, se ele é zero em algum instante, ele é zero em todos os instantes. Por isso .
Fica faltando apenas achar .
Passo 2
Usando as conclusões do passo anterior chegamos na seguinte equação:
Agora usando a equação que nos dá , temos:
E agora integramos em função do tempo dos dois lados, o que dá:
Os valores da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética no vácuo são:
E assim temos:
Passo 3
Letra b)
O vetor de Poynting é dado por:
Mas novamente, pra gravarmos a fórmula de um produto vetorial, o melhor é tentar olhar um determinante.
E com isso:
A intensidade pode ser encontrada por:
Porém, note que no cálculo do vetor de Poynting, temos que a amplitude da oscilação é igual a . Ou seja, basta dividir essa amplitude por dois.
Resposta
Letra a)
Letra b)