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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

PUC, Física 4, P1 2017.1, 2

A componente elétrica de uma onda eletromagnética plana que se propaga no

vácuo é dada por:

E y → z , t = 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   ω t j ^

(a)Calcule o comprimento de onda λ e a frequência angular ω.

(b) Obtenha o vetor indução do campo magnético B → dessa onda utilizando a

Expressão

B → = u → x E → c

onde x designa o produto vetorial e u → = c → c ,pois designa o vetor unitário no sentido da velocidade de propagação da onda. Use o valor de ω obtido no item anterior.

(c) encontre o vetor de poynting S → (z,t) dessa onda.

Passo 1

Sabemos que se trata de um problema de propagação da luz, antes de analisarmos cada item vamos lembrar como podemos escrever nosso campos elétricos e magnéticos.

E → ( z , t ) = E 0 .   S e n ( K z -   ω t )

B → = E 0 C .   S e n ( K y -   ω t )

Na primeiro item nos é pedido o comprimento de onda λ e a frequência angular, para isso devemos lembrar que,

λ = 2 π K

C = λ . f

ω = 2 π f

Podemos relacionar as duas primeiras fórmulas e encontrarmos o valor da frequência.

C = 2 π K . f

f = K C 2 π

Substituindo essa formula de frequência na fórmula de ω

ω = 2 π K C 2 π

ω = K C

Passo 2

Sabemos que o nosso K é o valor que multiplica a variável Z, dessa forma temos que

K = π 3 . 10 - 3 m - 1

E que nossa velocidade da luz é

C = 3 .   10 8 m / s

Dessa forma encontramos que

λ = 2 π K = 2 π π 3 . 10 - 3

λ = 6 .   10 3 m

para a frequência angular teremos que

ω = π 3 . 10 - 3 . 3 .   10 8

ω = π . 10 5 r a d / s

Passo 3

Para o segundo item queremos determinar o vetor campo magnético, para isso é importante avaliarmos dois pontos importantes, um é o campo elétrico, o outro o produto vetorial, vamos lá então.

E y → z , t = 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   ω t j ^

Analisando o nosso campo elétrico observamos o seguinte

6,00 representa a amplitude do nosso campo elétrico

Z representa a direção da nossa onda, ou ainda melhor, a direção do nosso vetor de poynting

E o j ^ representa exatamente a direção do campo elétrico

O sinal no argumento também é muito importante, sempre que tivermos o fator KZ sendo somado ao fator ω t significa que o nosso vetor de poynting se move no sentido negativo da direção dele, da mesma forma se o fator KZ estiver subtraindo o fator ω t significa que o nosso vetor de poyting se move no sentido positivo a direção dele.

Passo 4

Sabendo disso e usando a fórmula do enunciado teremos que

B → = u → x E → c

E y → z , t = 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   ω t j ^

Agora precisamos conhecer o sentido e direção do vetor de poynting para prosseguirmos no calculo, mas pensa no seguinte, olhando para o argumento teremos

π 3 . 10 - 3 z +   ω t

Z nos indica que esse vetor se move na direção k ^ mas qual o sentido?

Vemos que o fator kz se soma ao fator ω t , logo o sentido só pode ser o negativo

Logo temos que

u → = - k ^

Passo 5

Substituindo os valores teremos

B → = 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   ω t 3 .   10 8 ( - k ^ x j ^ )

Pela regra da mão direita

- k ^ x j ^ = + i ^

Logo o nosso vetor campo magnético deve ser

B x → = 2 . 10 - 8 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t ( i ^ )

Passo 6

No terceiro item dessa questão devemos encontrar o vetor de poynting dessa onda, isso é bem simples, vamos primeiro nos recordar da fórmula do vetor de poynting,

S → = E → x B → μ 0

Mas nos já temos os valores de E ��� e B →

E y → z , t = 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t j ^

B x → = 2 . 10 - 8 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t ( i ^ )

μ 0 = 4 π . 10 - 7

Substituindo teremos

S → = ( 6,00 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t j ^ ) x ( 2 . 10 - 8 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t i ^ ) 4 π . 10 - 7

S → = ( 12 . 10 - 8 .   S e n ² π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t j ^ x i ^ ) 4 π . 10 - 7

S → = ( 12 . 10 - 8 .   S e n ² π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t j ^ x i ^ ) 4 π . 10 - 7

j ^ x i ^ = - k ^

pelo produto vetorial vemos que está coerente com o que achamos que de fato deveria ser, o vetor de poynting indo na direção negativa do eixo z como calculamos que deveria ser no item anterior

S → = ( 0,0955 .   S e n ² π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t - k ^ )

Resposta

a) λ = 6 .   10 3 m

ω = π . 10 5 r a d / s .

b) B x → = 2 . 10 - 8 .   S e n π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t ( i ^ )

c) S → = ( 0,0955 .   S e n ² π 3 . 10 - 3 z +   π . 10 5 t - k ^ )

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