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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Origem do Exercício

Uma onda eletromagnética propaga-se numa região do espaço delimitada por dois planos condutores paralelos com equações y = 0 e y = a . Nesta região, o campo elétrico da onda é:

E → = E x x ^ = E 0 sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t x ^       c o m       0 < y < a

  1. Determine a relação que deve haver entre a , k e ω para que o campo elétrico satisfaça a equação de ondas tridimensional.
  2. A partir da forma diferencial da lei de Faraday determine o campo magnético associado ao campo elétrico dado.
  3. Determine o vetor de Poynting no instante t = 0 em um ponto com coordenadas x = 0 , y = a / 2 e z = 0 .

Passo 1

Letra a)

A equação de ondas tridimensional é a seguinte:

∂ 2 E x ∂ x 2 + ∂ 2 E x ∂ y 2 + ∂ 2 E x ∂ z 2 = 1 v 2 ∙ ∂ 2 E x ∂ t 2

Agora, vamos avaliar cada termo:

E x não depende de x , logo ∂ 2 E x ∂ x 2 = 0 .

Derivando em y , temos:

∂ E x ∂ y = E 0 π a ∙ cos ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

∂ 2 E x ∂ y 2 = - E 0 π 2 a 2 sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

Derivando em z duas vezes, iremos ficar com:

∂ E x ∂ z = - E 0 k ∙ sen ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t

∂ 2 E x ∂ z 2 = - E 0 k 2 sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

Agora, derivamos com relação a t duas vezes:

∂ E x ∂ t = E 0 ω sen ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t

∂ 2 E x ∂ t 2 = - E 0 ω 2 sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

Perceba que todos os termos tem uma parte com seno e coseno. Quando colocarmos na equação, podemos cortar isso, e teremos:

E 0 π 2 a 2 + E 0 k 2 = 1 v 2 ∙ E 0 ω 2

Agora tem E 0 em todos os cantos, que também podemos cortar:

π 2 a 2 + k 2 = ω 2 v 2

Se considerarmos a onda no vácuo, podemos trocar sua velocidade v pela constante c , e teremos a relação necessária:

π 2 a 2 + k 2 = ω 2 c 2

Onde π e c tem valor conhecido.

Passo 2

Letra b)

Na forma diferencial, a lei de Faraday nos diz que:

∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t

Então, para acharmos B → , precisamos primeiro encontrar o rotacional de E → .

∇ → × E → = ∂ E z ∂ y - ∂ E y ∂ z i → + ∂ E x ∂ z - ∂ E z ∂ x j → + ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k →

Onde E i é a componente i do campo elétrico. Como ele só tem componente em x , temos:

∇ → × E → = ∂ E x ∂ z j → - ∂ E x ∂ y k →

Mas esses dois termos já vimos na letra a :

∂ E x ∂ y = E 0 π a ∙ cos ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

∂ E x ∂ z = - E 0 k ∙ sen ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t

Passo 3

Agora que já temos o lado esquerdo da nossa equação, vamos pensar a que temos que igualá-lo.

A derivada de um vetor é igual ao vetor das derivadas da componente. De outra forma:

B → = B x i → + B y j → + B z k →

∂ B → ∂ t = ∂ B x ∂ t i → + ∂ B y ∂ t j → + ∂ B z ∂ t k →

Para igualar com o rotacional, igualamos cada componente. Isso nos diz:

  • Pela discussão anterior, a componente x é zero. ∂ B x ∂ t = 0 e B x = B 0 é constante com o tempo. Mas como o campo magnético é perpendicular ao elétrico, ele tem de se situar no plano y z (plano perpendicular ao eixo x ). Essa constante então é zero, B 0 = 0 .
  • A componente em y vai ser dada pela igualdade:

    • - ∂ B y ∂ t = ∂ E x ∂ z = - E 0 k ∙ sen ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t

    Integrando em função do tempo:

    B y = E 0 k ω sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

  • No caso da componente em z :

- ∂ B z ∂ t = - ∂ E x ∂ y = - E 0 π a ∙ cos ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t

Integrando no tempo

B z = - E 0 π a ω cos ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t

As constantes de integração foram arbitrariamente definidas como sendo zero. Assim, o campo magnético é:

B → = E 0 k ω sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t j → - E 0 π a ω cos ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t k →

Passo 4

Letra c)

Determine o vetor de Poynting para t = 0 em x = 0 , y = a / 2 e z = 0 .

O vetor de Poynting é:

S → = 1 μ 0 E → × B →

Abrindo o produto vetorial:

E → × B → = i → j → k → E x 0 0 0 B y B z = - E x B z j → + E x B y k →

No caso, para z = 0 e t = 0 nós teremos B z = 0 (pois sen ⁡ 0 = 0 ), o que nos deixa com:

E x B y k →

Agora vamos avaliar esse vetor no ponto considerado:

B y = E 0 k ω sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t = E 0 k ω

E x = E 0 sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t = E 0

Logo o vetor de poynting no ponto vai ser:

S → = E 0 2 k ω μ 0   k →

Resposta

Letra a)

π 2 a 2 + k 2 = ω 2 c 2

Letra b)

B → = E 0 k ω sen ⁡ π y a cos ⁡ k z - ω t j → - E 0 π a ω cos ⁡ π y a sen ⁡ k z - ω t k →

Letra c)

S → = E 0 2 k ω μ 0   k →

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