Ondas Eletromagnéticas, Vetor de Poynting e Pressão de Radiação
Uma onda eletromagnética plana monocromática que se propaga no vácuo possui um campo elétrico descrito pela expressão onde e são constantes positivas.
Determina a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência da onda em função das constantes e .
Qual relação deve haver entre e para que satisfaça a equação de onda da luz se propagando no vácuo?
Determine o vetor em função de , , e da velocidade da luz no vácuo .
Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.
Passo 1
Determina a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência da onda em função das constantes e .
Vamos começar desorganizando um pouco as coisas e escrevendo o campo elétrico como:
Como a coordenada aparece dentro do argumento do seno, já podemos tirar daí que a onda se propaga da direção do eixo .
Mas como saber se ela se propaga no sentido ou ?!
Uma coisa que sempre me ajudou foi o seguinte, tenta imaginar que o sinal é sempre “do contra”, ou seja, se a onde de propaga no sentido , o sinal vai ser negativo. Se a onde se propaga no sentido , o sinal vai ser positivo.
Mas, na real, o que acontece é o seguinte.
Esse cosseno sempre é escrito como (para o caso da onda se propagando na direção )... mas se a onda estiver se propagando no sentido , o argumento do cosseno seria escrito como:
Mas tem uma propriedade do cosseno que diz que
Logo:
Portanto, se a onde se propaga no sentido , o argumento será . E vice-versa... entendeu?
Resumindo, essa onda se propaga no sentido .
Passo 2
A função de campo elétrico de uma onda que se propaga no sentido tem essa cara:
Comparando com a função que o problema nos deu, teremos:
A partir daqui podemos calcular o comprimento de onda e a frequência.
Passo 3
Qual relação deve haver entre e para que satisfaça a equação de onda da luz se propagando no vácuo?
A equação de onda é dada por:
O nosso trabalho então é substituir a expressão de aqui, calculando as derivadas parciais.
Daqui podemos simplificar quase tudo, sobrando apenas:
Finalmente:
Passo 4
Determine o vetor em função de , , e da velocidade da luz no vácuo .
Agora vamos precisar relembrar algumas coisas... a primeira delas é que o campo magnético, o campo elétrico e a direção de propagação da onda são perpendiculares. Logo, se a onda se propaga no sentido e o campo elétrico se propaga no sentido , o campo magnético se propaga na direção ... só temos que descobrir se é no sentido ou .
Outro detalhe importante é que o produto vetorial vai apontar no sentido de propagação da onda... logo, só temos que ver qual dos dois vai resolver a nossa vida.
Logo, o campo magnético se propaga na direção . Isso significa que ele vai ter essa cara:
Pra finalizar, podemos dizer que:
Finalmente:
Passo 5
Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.
Por definição o vetor de Poynting é dado por:
Logo:
Passo 6
A densidade de energia é obtida através da relação:
Como é uma função senoidal, a densidade de energia média está relacionada ao valor quadrático médio de , logo:
Resposta
A onda se propaga no sentido .