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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

PUC, Física 4, P1 2017.2, 3

Em certa região do espaço, o campo magnético de um feixe luminoso é dado por

B → = 6 . 10 - 6 S e n ( 2 . 10 7 Y   -   ω t ) x ^ , em unidades do SI. Para esta onda, determine:

(a) A frequência angular.

(b) O vetor campo elétrico.

(c) A intensidade.

(d) O vetor de Poynting.

Passo 1

Antes de começarmos a fazer uma questão devemos entender que ela se trata de uma das componentes (campo magnético) da propagação de onda, antes de tudo vamos relembrar como escrevemos o vetor de campo magnético e também algumas fórmulas importantes para o nosso cálculo.

B → = E 0 C .   S e n ( K y -   ω t ) x ^

Desse vetor tiramos algumas informações importantes

E 0 C é a amplitude do nosso vetor campo magnético

y representa a direção do vetor de pointyng( que nesse caso é+ j ^ )

x ^ é a direção do vetor campo magnético

Do nosso vetor campo magnético, também tiramos alguns dados para usarmos em algumas fórmulas importantes de serem lembradas.

λ = 2 π K

C = λ . f

ω = 2 π f

Passo 2

Na letra a o exercício pede a frequência angular, ou seja, precisamos encontrar o valor de ω

Podemos relacionar as duas primeiras fórmulas e encontrarmos o valor da frequência.

C = 2 π K . f

f = K C 2 π

Substituindo essa formula de frequência na fórmula de ω

ω = 2 π K C 2 π

ω = K C

Pelo vetor campo magnético temos que

K = 2 . 10 7 m - 1

C = 3 .   10 8 m / s

substituindo

ω = 2 . 10 7 . 3 .   10 8

ω = 6 . 10 15   r a d / s

Passo 3

O nosso objetivo é definir o vetor campo elétrico, mas nesse caso temos em mãos apenas o vetor campo magnético. Sabemos que a forma do vetor campo elétrico será algo do tipo.

E → = E 0 .   S e n ( K y -   ω t ) x ^

Sabemos que a amplitude do campo elétrico se relaciona com a amplitude do campo magnético pela fórmula

B 0 = E 0 C

B 0 = 6 . 10 - 6 T

C = 3 .   10 8 m / s

E sabemos que E 0 = B 0 . C

E 0 = 6 . 10 - 6 . 3 .   10 8

E 0 = 18 .   10 2   V / m

Agora vale relembrar a regrinha da mão direita para ficar fácil descobrir a direção de campo elétrico, usando multiplicação vetorial

i ^ x j ^ = k ^

j ^ x i ^ = - k ^

i ^ x k ^ = - j ^

k ^ x i ^ = j ^

j ^ x k ^ = i ^

k ^ x j ^ = - i ^

E sabendo que o vetor de pointyng é dado por

S → = E → x B → μ 0

Sabemos que S → está na direção j ^ e que B → está na direção i ^ , logo temos a seguinte multiplicação

j ^ =   ? .   i ^

Ou seja, vemos que por multiplicação vetorial apenas k ^ pode satisfazer isso

Logo o nosso vetor campo elétrico será

E → = 18 .   10 2 .   S e n ( 2 . 10 7 . y -   6 . 10 15 . t ) k ^

Passo 4

Agora nos é pedido o valor da intensidade média da radiação, ou se preferir, do vetor de pointyng. Nesse caso vale lembrar que a fórmula da intensidade média do vetor de pointyng é dado pela fórmula

I m e d = E m a x . B m a x 2 . μ 0

E sabemos que

E m a x = E 0

B m a x = E 0 C

E também sabemos que

c = ( μ 0 ε 0 ) - 1 2

Dessa forma sabemos que a formula de intensidade final será

I m e d = ε 0 . c . E 0 ² 2

E 0 = 18 .   10 2 V / m

c = 3 .   10 8 m / s

ε 0 = 8,85 .   10 - 12 C 2 N . m ²

Então teremos que

I m e d = 8,85 .   10 - 12 . 3 .   10 8 . 18 .   10 2 2 2

I m e d = 4300 W m 2 = 4,3 K W / m 2

Passo 5

Agora nos é pedido o vetor de poityng, e já temos a sua fórmula

S → = E → x B → μ 0

Mas também já sabemos qual é o vetor campo elétrico e campo magnético

E → = 18 .   10 2 .   S e n ( 2 . 10 7 . y -   6 . 10 15 . t ) k ^

B → = 6 . 10 - 6 S e n ( 2 . 10 7 Y   -   ω t ) i ^

μ 0 = 4 π . 10 - 7

Então só substituir esses valores na fórmula do vetor de pointyng

S → = ( 18 .   10 2 .   S e n ( 2 . 10 7 . y -   6 . 10 15 . t ) k ^ ) x ( 6 . 10 - 6 S e n 2 . 10 7 Y   -   6 . 10 15 t x ^ ) 4 π . 10 - 7

S → = 8,6 .   S e n ² 2 . 10 7 Y   -   6 . 10 15 t ( k ^ x i ^ )

Finalmente

S → = 8,6 .   S e n ² 2 . 10 7 Y   -   6 . 10 15 t ( j ^ )

Resposta

a) ω = 6 . 10 15   r a d / s

b) E → = 18 .   10 2 .   S e n ( 2 . 10 7 . y -   6 . 10 15 . t ) k ^

c) I m e d = 4300 W m 2 = 4,3 K W / m 2

d) S → = 8,6 .   S e n ² 2 . 10 7 Y   -   6 . 10 15 t ( j ^ )

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