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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

A componente magnética da radiação existente no vácuo é dada pela superposição de duas ondas planas (SI):

B → = B 1 → + B 2 → = - 10 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t j ^ - 10 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t j ^ .

Coloque a velocidade da luz c = 3 × 10 8 m/s e se necessário deixe suas respostas em função de μ 0 .

(a) (1,0 ponto) Calcule o número de onda k e o vetor velocidade de propagação de cada componente de B → .

(b) (1,0 ponto) Determine as correspondentes componentes elétricas E 1 → e E 2 → .

(c) (1,0 ponto) Calcule o vetor de Poynting associado a esta radiação.

(d) (1,0 ponto) Esta radiação transporta energia? Justifique.

Passo 1

Para calcular os números de onda de B 1 → e B 2 → , comparamos diretamente as equações dadas no enunciado com a equação genérica de uma onda plana propagando-se no sentido + O x com número de onda k e frequência angular ω :

B → x , t = j ^ B m a x cos ⁡ k x - ω t .

Assim sendo, para B 1 → , o número de onda é k 1 = 3   m - 1 e, para B 2 → , o número de onda é k 2 = 3   m - 1 .

Passo 2

A componente B 1 → tem velocidade

v 1 → = ω 1 k 1 i ^   = 9 × 10 8 3 i ^ = 3 × 10 8 i ^     m / s .

A componente B 2 → tem velocidade

v 2 → = ω 2 k 2 i ^   = - 9 × 10 8 3 i ^ = - 3 × 10 8 i ^     m / s .

Passo 3

Bem, vamos listar o que sabemos dos vetores B 1 → , B 2 → e E → e a direção de propagação da onda para chegarmos em uma conclusão a respeito do sentido e direção de E → :

  1. Os campos magnéticos B 1 → e B 2 → possuem a direção do eixo y , sentido negativo, ou seja, estão alinhados com o vetor - j ^ ;
  2. A onda B 1 → se propaga na direção do eixo x , sentido positivo, ou seja, alinhada com o vetor i ^ ;
  3. A onda B 2 → se propaga na direção do eixo x , sentido negativo, ou seja, alinhada com o vetor - i ^ ; e
  4. O produto vetorial E → × B → fornece a direção e o sentido da propagação da onda.

Juntando as informações 1, 2, 3 e 4 acima, concluímos que:

  • E 1 → possui a mesma direção do eixo z , sentido positivo, ou seja, está alinhado com o vetor k ^ ; e
  • E 2 → possui a mesma direção do eixo z, sentido negativo, ou seja, está alinhado com o vetor - k ^ .

Passo 4

Agora, utilizamos a expressão E = c B para calcular o módulo de E → . Temos:

E 1 = c B 1 = 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t ,

E 2 = c B 2 = 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t .

Passo 5

Os vetores E 1 → e E 2 → são dados, portanto:

E 1 → = 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t k ^ ,

E 2 → = - 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t k ^ .

Passo 6

O vetor de Poynting é dado por S → = E → × B → / μ 0 , onde E → = E 1 → + E 2 → e B → = B 1 → + B 2 → .

Para o campo elétrico E → , temos:

E → = 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t k ^ - 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t k ^ .

Podemos usar a expressão trigonométrica abaixo (está no formulário!) na expressão acima.

cos ⁡ A - cos ⁡ B = 2 sin ⁡ A + B 2 sin ⁡ A - B 2 ,

onde, nesse caso, A = 3 x - 9 × 10 8 t e B = 3 x + 9 × 10 8 t . Temos:

E → = 6 × 10 9 sin ⁡ 3 x sin ⁡ - 9 × 10 8 t k ^ ,

E → = - 6 × 10 9 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 9 × 10 8 t k ^ .

Passo 7

Para o campo magnético B → , temos:

B → = - 10 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t j ^ - 10 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t j ^ .

Podemos usar a expressão trigonométrica abaixo (também no formulário) na expressão acima.

cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ A - B 2 ,

onde, nesse caso, A = 3 x - 9 × 10 8 t e B = 3 x + 9 × 10 8 t . Temos:

B → = - 20 cos ⁡ 3 x cos ⁡ - 9 × 10 8 t j ^ ,

B → = - 20 cos ⁡ 3 x cos ⁡ 9 × 10 8 t j ^ .

Passo 8

Calculamos, agora, o vetor de Poynting S → :

S → = 1 μ 0 E → × B → = - 12 × 10 10 μ 0 sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sin ⁡ 9 × 10 8 t cos ⁡ 9 × 10 8 t i ^ .

Passo 9

A intensidade de radiação é dada por I = < S > , ou seja,

I = - 12 × 10 10 μ 0 sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x   < sin ⁡ 9 × 10 8 t cos ⁡ 9 × 10 8 t > .

Como a média temporal < sin ⁡ 9 × 10 8 t cos ⁡ 9 × 10 8 t > = 0 , I = 0 . Portanto, na média, não há transporte de energia.

Resposta

(a) Os números de onda e vetores velocidade para as duas ondas planas são dados por:

k 1 = k 2 = 3   m - 1 ,

v 1 → = 3 × 10 8 i ^     m / s ,

v 2 → = - 3 × 10 8 i ^     m / s .

(b) As componentes elétricas E 1 → e E 2 → são dadas por:

E 1 → = 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x - 9 × 10 8 t k ^ ,

E 2 → = - 3 × 10 9 cos ⁡ 3 x + 9 × 10 8 t k ^ .

(c) O vetor de Poynting é dado por:

S → = - 12 × 10 10 μ 0 sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sin ⁡ 9 × 10 8 t cos ⁡ 9 × 10 8 t i ^ .

(d) Na média, não há transporte de energia.

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