UFRJ, Física 4, P1 2017.2, 5
O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado pela fórmula
Em função dos dados do enunciado e de constantes fundamentais dadas no formulário (folha de capa), calcule e responda o que se pede.
(a) Determine i) a direção e o sentido de propagação, ii) o vetor número de onda, iii) a frequência iv) o comprimento de onda da onda eletromagnética.
(b) Determine o vetor campo magnético (x, y, z, t) da onda eletromagnetica.
(c) Calcule o vetor de Poynting e a intensidade da onda eletromagnética.
Formulário:
- Média de seno e cosseno
Passo 1
a)
Nesse exercício ele usa , e como vetores unitários, mas pra não confundir o número de onda e a direção (muitos k’s né? Kkkkkk) vou usar como direção de propagação , beleza?
Para o nosso primeiro objetivo precisamos analisar uma fórmula completa do campo elétrico e relembrar alguns conceitos muito importantes, então vamos lá, na forma geral a fórmula é.
Sabemos que essa fórmula, comparando com a do nosso enunciado, nos fornece alguns dados importante e podemos definir alguns parâmetros.
O primeiro é que o valor de se refere ao valor que multiplica , dessa forma encontramos facilmente que o valor de vai ser
Como ele multiplica , já vemos que a onda se propaga nesse eixo.
Para determinarmos o sentido precisamos lembrar que quando temos a onda está sendo propagada na direção e quando temos a onda se propaga na direção .
Nesse caso, temos o que mostra que a nossa onda se propaga na direção negativa do eixo , ou seja, , respondendo assim o item 1 da letra a! o/
Passo 2
Também já definimos o modulo do nosso numero de onda, mas como o item 2 pede o vetor podemos escreve-lo da seguinte forma
Passo 3
Para o terceiro item precisamos lembrar que
ou seja, o valor do nosso comprimento de onda depende apenas de k, que já possuímos. Logo teremos que o comprimento de onda será.
mas porque calculamos o comprimento de onda? Por que aí conseguimos usar a equação da onda
Sabendo que
teremos que a nossa frequência será
Passo 4
b)
Antes de começarmos o item B devemos nos lembrar que o campo magnético é dado pela fórmula
Onde é o nosso vetor unitário na direção e o campo elétrico é o nosso campo do enunciado. Como temos um produto vetorial então precisaremos calcular o determinante.
Da mesma forma também podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma
Para facilitar a vida a gente pode fazer a conta usando
Montando o determinante teremos
Resolvendo esse determinamos chegamos ao valor de
Reorganizando e escrevendo da forma correta teremos que o nosso campo magnético será
Passo 5
c)
No item C é pedido o vetor de Poynting e a sua intensidade, que no caso ele chama de intensidade de onda eletromagnética, vamos resolver a primeira parte e depois nos preocuparemos com a segunda.
Sabemos que o vetor de Poynting é dado pela fórmula
Em que novamente temos um produto vetorial que pode ser resolvido pelo seguinte determinante
E
Como você pode ver, esses valores são gigantescos, então faremos a seguinte simplificação.
E
Colocando esses valores no nosso determinante teremos
E no fim teremos a fórmula
Agora você deve estar pensando o quão chato vai ser trocar aqueles valores gigantes na formula final..., mas tem o seguinte: os termos de e têm a mesma cara! Olhando com calma você pode ver que
A mesma coisa acontece com e
Assim temos
Substituindo finalmente temos
Passo 6
Além do vetor de Poynting também era pedido o valor da intensidade da onda eletromagnética, e para isso vale lembrar o seguinte, para esse caso, o cálculo da intensidade da onda será dado pela média temporal da amplitude do vetor de Poynting. Mas sabemos que esses cálculos são muito complicados.
Como no formulário nos é dito que a média temporal do quadrado das funções trigonométricas são
Encontramos que para a média temporal das amplitudes teremos
Resolvendo essa continha teremos que
Resposta
a)i)
ii)
iii)
iv)
b)
c)