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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Equações de Maxwell, Vetor de Poynting e Pressão de Radiação

Um grande solenoide com n espiras por unidade de comprimento tem uma corrente que aumenta lentamente com o tempo.

O solenoide tem raio R e a corrente no enrolamento tem a forma I t = a t , sendo a uma constante.

  1. Encontre o campo elétrico induzido a uma distância r < R do eixo do solenoide.
  2. Encontre o vetor de Poynting na superfície do cilindro r = R , logo abaixo do enrolamento do solenoide.
  3. Calcule o fluxo do vetor de Poynting em um cilindro de comprimento l e mostre que este é igual à taxa de variação da energia magnética do solenoide.

Passo 1

Letra (a): Encontre o campo elétrico induzido a uma distância r < R do eixo do solenoide.

Quando o problema nos fala de campo elétrico induzido, temos que associar logo de cara com a Lei de Faraday, que é dada por:

∮ E → ∙ d l → = - d ϕ B d t

Onde:

ϕ B = B A

Para solenoides, o campo magnético é dado por:

B = μ 0 n I

E vamos considerar para a área um circulo de raio r , logo:

A = π r 2

Assim:

ϕ B = μ 0 n π r 2 I

Agora, jogando na Lei de Faraday:

∮ E → ∙ d l → = - d ( μ 0 n π r 2 I ) d t

Novamente, como estamos considerando para os cálculos um circulo de raio r :

∮ E → ∙ d l → = E   2 π r

Assim:

E   2 π r = - d μ 0 n π r 2 I d t = - μ 0 n π r 2 d I d t

I t = a t → d I d t = a

E   2 π r = - μ 0 n π r 2 a

E = - μ 0 n r a 2

E = μ 0 n r a 2

Passo 2

Letra (b): Encontre o vetor de Poynting na superfície do cilindro r = R , logo abaixo do enrolamento do solenoide.

O vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0  

Como E → e B → são ortogonais:

S = 1 μ 0   μ 0 n r a 2   μ 0 n I

S = 1 2   μ 0 n 2 r a I

Passo 3

Letra (c): Calcule o fluxo do vetor de Poynting em um cilindro de comprimento l e mostre que estre é igual à taxa de variação da energia magnética do solenoide.

Vamos começar calculando o fluxo do vetor de Poynting ϕ S , que é dado por:

ϕ S = S A

ϕ S = 1 2   μ 0 n 2 r a I 2 π r l

ϕ S = μ 0 π n 2 r 2 l a I

Agora vamos calcular a taxa de variação da energia magnética no solenoide.

A densidade de energia associada ao campo magnético é dada por:

u B = d U B d V = 1 2 μ 0 B 2

Logo, a energia magnética é dada por:

∫ d U B = B 2 2 μ 0   ∫ d V

U B = μ 0 2 n 2 I 2 2 μ 0   π r 2 l

U B = 1 2 μ 0 n 2 I 2 π r 2 l

Portanto, a taxa de variação da energia magnética no solenoide é:

d U B d t = 1 2 μ 0 n 2 π r 2 l d I 2 d t

d U B d t = 1 2 μ 0 n 2 π r 2 l   2 I d I d t

Onde:

I t = a t

d I d t = a

Por fim:

d U B d t = μ 0 π n 2 r 2 l a I = ϕ S

Resposta

Letra (a):

E = μ 0 n r a 2

Letra (b):

S = 1 2   μ 0 n 2 r a I

Letra (c):

d U B d t = μ 0 π n 2 r 2 l a I = ϕ S

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