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Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Ondas Eletromagnéticas

Dada a onda eletromagnética

E → = E 0 i ^ cos ⁡ ( k z - ω t ) + E 0 j ^ cos ⁡ ( k z - ω t )

Onde E 0 é uma constante.

  1. Ache o campo magnético.
  2. Ache o vetor de Poynting.
  3. Calcule a intensidade da onda no ponto P = - 1,1 , 5 .

Passo 1

Letra (a): Ache o campo magnético

Para começar, temos que descobrir o sentido em que a onda está se deslocando e, para isso, analisaremos o argumento da função senoidal

k z - ω t

Para que o argumento permaneça constante, conforme o valor do tempo t aumenta, é necessário que o valor de z também aumente.

Assim, a onda eletromagnética se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Passo 2

Sabendo que a onda se propaga no sentido do vetor + z ^ e que E → e B → são perpendiculares, temos que:

E → = c ( B → × z ^ )

B → = 1 c ( z ^ × E → )

B → = 1 c i ^ j ^ k ^ 0 0 1 E x E y 0 = - E y c i ^ + E x c j ^ = B x i ^ + B y j ^

B x = - E y c

B y = E x c

Logo:

B → = - E 0 c i ^ cos ⁡ k z - ω t + E 0 c j ^ cos ⁡ ( k z - ω t )

Passo 3

Letra (b): Ache o vetor de Poynting.

O vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0

S → = 1 μ 0 i ^ j ^ k ^ E 0 E 0 0 - E 0 c E 0 c 0 cos 2 ⁡ ( k z - ω t )

S → = cos 2 ⁡ k z - ω t μ 0   k ^ E 0 2 c + E 0 2 c

S → = 2 E 0 2 μ 0 c k ^ cos 2 ⁡ ( k z - ω t )

Passo 4

Letra (c): Calcule a intensidade da onda no ponto P = - 1,1 , 5 .

Sabemos que a intensidade é dada por:

I = S - = E 0 2 2 μ 0 c

Logo, a intensidade independe da posição.

Ou a gente podia usar essa outra equação aqui

I = 1 2 E m a x B m a x   μ 0

Como B = E / c

I = 1 2 E m a x 2 μ 0 c

Como o nosso campo elétrico é

E → = E 0 i ^ cos ⁡ ( k z - ω t ) + E 0 j ^ cos ⁡ ( k z - ω t )

O módulo dele vai ser

E = E 0 cos ⁡ k z - ω t 2 + E 0 cos ⁡ k z - ω t 2

Que vai ser máximo quando cos ⁡ k z - ω t = 1

E m a x = E 0 2 + E 0 2 = E 0 2

Assim,

I = 1 2 E m a x 2 c μ 0 = 1 2 E 0 2 2 c μ 0 = E 0 2 c μ 0

Que é a mesma coisa que a gente acho antes!

Resposta

Letra (a):

B → = - E 0 c i ^ cos ⁡ k z - ω t + E 0 c j ^ cos ⁡ ( k z - ω t )

Letra (b):

S → = 2 E 0 2 μ 0 c k ^ cos 2 ⁡ ( k z - ω t )

Letra (c):

I = E 0 2 μ 0 c

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