Achar a massa da curva dada por , , , , se a densidade em cada ponto é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.
Passo 1
Bem, pra achar a massa não tem erro, é só fazer a integral de linha escalar da densidade, que a gente resolve pela fórmula:
Ele já deu a parametrização no enunciado, o que já um adianto, mas a densidade não foi dada explicitamente, então vamos ver como que vai ficar.
Passo 2
Ele diz que a densidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância à origem. No , essa distância é dada por , então a densidade vai ficar:
Sendo esse uma constante de proporcionalidade.
Com a parametrização dada, a gente tem:
Opa, até que ficou tranquilo, no final, né?
Passo 3
Falta também calcular o vetor tangente, vamos ver se damos sorte pra conta nao ser muito grande.
Eita, pra que isso?? Mas vamos lá, não temos como fugir, vamos confiar que vai simplificar em algum momento...
Não se assusta que muita coisa vai cancelar aí!
Viu, muito mais simples do que parecia!
Passo 4
Agora vamos jogar tudo na fórmula:
E no final ficou tudo muito mais tranquilo do que a gente esperava, não foi?