Origem do Exercício
Seja . Calcular a integral da função sobre a curva definida por onde varia no intervalo .
Passo 1
Quando integramos um campo sobre uma curva, estamos falando de uma integral de linha. Se o campo é escalar (e não vetorial), como nessa questão, temos que usar a “fórmula”da integral de linha para o caso escalar:
Ok? Então só o que precisamos fazer é achar todos aqueles fatores que aparecem na integral.
Passo 2
Começamos obtendo , que é simplesmente a função composta do campo e da curva. O enunciado deu essas duas funções:
A função composta é:
Passo 3
Agora precisamos achar o módulo do vetor velocidade da nossa curva. Lembrando que:
Para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes, então:
Ok, e como calculamos o módulo de um vetor? Usando essa fórmula aqui:
Então:
Passo 4
Agora já podemos substituir tudo na integral e resolver:
Lembrando que o enunciado disse que o varia em
Tirando a constante:
E como a integral desse polinômio é , o valor de é:
Resposta
O valor da integral é .