Considere a curva definida por
com .
- Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto correspondente a .
- Escreva a integral que representa o comprimento de .
Passo 1
Show, vamos começar pela letra (a). A reta tangente, que a gente vai chamar de , no ponto vai ser dada por
Então, precisamos calcular e . Show, substituindo na curva dada, temos
Para encontrar , vamos derivar . Assim,
Então, no ponto ,
E aí substituímos na fórmula da reta tangente, ficando
Assim, para cada coordenadas, teremos as equações paramétricas
Em que é um parâmetro tal que .
Passo 2
Show, vamos para letra (b) agora. O comprimento de vai ser dado pela integral:
Como a curva está definida em , temos que que e . Falta determinar . Vimos no passo anterior, que
Assim, temos
Repara só, podemos colocar o em evidência. Assim, vamos ter
Opa, pelo teorema fundamental da trigonometria, para todo ângulo
Assim, vamos ter
Podemos melhorar ainda mais, colocando o em evidência e tirando da raiz
Assim, a nossa integral vai ficar
O problema só pediu para escrever a integral, então não precisamos calculá-la. 😊