Origem do Exercício
Seja . Calcular a integral da função sobre a curva definida por , onde varia no intervalo .
Passo 1
Nossa tarefa aqui é calcular uma integral de linha escalar, ou seja, vamos integrar um campo escalar (a função ) ao longo de um caminho.
Existe uma fórmula que facilita a “montagem” da integral de linha, é essa aqui:
Passo 2
Vamos calcular cada um daqueles fatores, começando por , isso é só a função composta de e . Nós vamos simplesmente fazer:
E então:
Passo 3
E agora vamos calcular o . Começamos obtendo a derivada de :
E agora é só achar o módulo desse vetor, lembrando que:
Então:
Passo 4
Agora já podemos substituir esses valores na integral:
E a integral desse polinômio dá:
Resposta
O valor dessa integral é .
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Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4