Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Seja F x , y , z = x 2 + 2 y + 3 z . Calcular a integral da função F ( x , y , z ) sobre a curva C definida por r x , y , z = - 2 t i + 3 t j + t k , onde t varia no intervalo [ 0,1 ] .

Passo 1

Nossa tarefa aqui é calcular uma integral de linha escalar, ou seja, vamos integrar um campo escalar (a função F ( x , y , z ) ) ao longo de um caminho.

∫ C F x , y , z . d r

Existe uma fórmula que facilita a “montagem” da integral de linha, é essa aqui:

∫ 0 1 F ( r ( t ) ) . d d t r t → d t

Passo 2

Vamos calcular cada um daqueles fatores, começando por F ( r ( t ) ) , isso é só a função composta de F e r . Nós vamos simplesmente fazer:

x = - 2 t

y = 3 t

z = t

E então:

F r t = x 2 + 2 y + 3 z = - 2 t 2 + 2 3 t + 3 t = 4 t 2 + 6 t + 3 t

F r t = 4 t 2 + 9 t

Passo 3

E agora vamos calcular o d d t r t → . Começamos obtendo a derivada de r t → :

d d t r t → = d d t - 2 t i + d d t 3 t j + d d t t k

d d t r t → = - 2 i + 3 j + k

E agora é só achar o módulo desse vetor, lembrando que:

a i + b j + c k = a 2 + b 2 + c 2

Então:

d d t r t → = ( - 2 ) 2 + 3 2 + 1 2 = 4 + 9 + 1 = 14

Passo 4

Agora já podemos substituir esses valores na integral:

∫ 0 1 4 t 2 + 9 t 14   d t

14   ∫ 0 1 4 t 2 + 9 t d t

E a integral desse polinômio dá:

14 4 ( 1 ) 3 3 + 9 ( 1 ) 2 2 = 14 4 3 + 9 2 = 14 8 6 + 27 6 = 35 6 14

Resposta

O valor dessa integral é 35 6 14 .

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