Questão 1) Seja o arco da curva
Cujo ponto de início é e o seu ponto de término é .
- Determinar uma parametrização lisa da curva .
- Determinar o comprimento da curva .
Passo 1
Poxa, parametrizar uma curva, acredito que você se lembra, mas caso tenha esquecido... Parametrizar é descrever todas as coordenadas dela em função de um parâmetro e quando digo todas as coordenadas, quero dizer o , o ,e o . Lembrou-se?
Veja bem, a nossa curva, que está no espaço, é a intersecção dessas equações...
Repare que o dessa curva está escrito explicitamente em função de , sugerindo que façamos uma parametrização explícita, onde será o parâmetro ...
O já fica em função do parâmetro...
E o também quando passamos o pro outro lado...
Essa basicamente já é a parametrização, mas colocando de uma forma mais elegante uma boa parametrização é...
Passo 2
Bem, eu poderia dizer que acabou a parametrização e que é só isso, mas estaria mentindo para você ! Toda parametrização nos exige dizer onde o parâmetro varia. Sim, porque a nossa curva não é infinita, certo?
Mas relaxa, que para tirar a informação de onde varia, vamos utilizar a informação do enunciado:
“Cujo ponto de início é e o seu ponto de término é .”
Para encontrar o incial , basta igualar o ponto inicial a curva...
Daí podemos ver na primeira coordenada que deve ser ...
Para o final ...
Portanto o parâmetro varia do inicial ao final...
Passo 3
Agora veja que o problema nos pediu uma parametrização lisa! Será que essa parametrização satisfaz essa condição?
Para ela ser lisa, basta que ela seja duas coisas:
- Contínua!
- A derivada não nula!
Veja a parametrização que encontramos é contínua
Pois cada argumento é contínuo.
E também a derivada...
Não é nula pra nenhum valor de ! O que torna sim a parametrização lisa
Passo 4
Todo vez que o problema nos pedir comprimento de arco, o que ele quer que a gente faça é resolver uma integral de linha desse tipo aqui oh...
E veja que a derivada a gente já tem e a variação de também, faltando apenas encontrar o módulo da derivada. Bora?
Passo 5
Primeiro extraindo o módulo do vetor derivada...
Repare que completando quadrado, então, por ser ...
Passo 6
Voltando para a integral...
Trocando na integral pela variação de e tirando aquele módulo dali, ficamos...
Lembrando que ...