Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

Ver Teoria

Enunciado

Seja C a interseção das superfícies y = x 2 + z 2 e y = 3 - 2 x . A integral ∫ C 1 + z 2 d s e igual a:

Passo 1

Pra começar vamos encontrar essa interseção e parametrizá-la igualando as funções.

y = x 2 + z 2

y = 3 - 2 x

Logo

x 2 + z 2 = 3 - 2 x

x 2 + 2 x + z 2 = 3

x 2 + 2 x + 1 + z 2 = 4

x + 1 2 + z 2 = 4

Parametrizando ficamos então com

σ t = ( 2 cos ⁡ t - 1 ,   y ,   2 s e n t )

Com t variando entre zero e 2 π .

Ainda precisamos do valor de y na parametrização, no entanto já temos os valors de x e z, então simplesmente substituímos esses valores em uma das funções.

y = x 2 + z 2

y = 2 cos ⁡ t - 1 2 + 2 s e n   t 2

y = 4 cos 2 ⁡ t - 4 cos ⁡ t + 1 + 4 s e n 2 ( t )

y = 5 - 4 c o s ⁡ ( t )

Então nossa parametrização final fica:

σ t = ( 2 cos ⁡ t - 1 ,   5 - 4 c o s ⁡ ( t ) ,   2 s e n t )

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Agora partindo pra o termo d s   ( m ó d u l o   d e r i v a d a   d a   p a r a m e t r i z a ç ã o ) d t :

σ ' t = - 2 s e n t ,   4 s e n t , 2 cos ⁡ t

σ ' t = 4 s e n 2 t + 16 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t

= 2 1 + 4 s e n 2 t d t

Passo 3

Para o próximo passo já podemos substituído tudo dentro da integral, sem esquecer de escrever o campo em função da parametrização.

∫ C 1 + z 2 d s = ∫ 0 2 π 1 + 4 s e n 2 t + 2 1 + 4 s e n 2 t   d t

2 ∫ 0 2 π 1 + 4 s e n 2 t d t

s e n 2 t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

2 ∫ 0 2 π 1 + 2 - 2 cos ⁡ 2 t d t

2 3 t + 2 s e n 2 t 2 0 2 π = 12 π

Resposta

12 π

Exercícios de Livros Relacionados

A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por x = 10 c o s t ,y = 10 s e n t . A altura da cerca na posição x , y é dada pela função h x , y = 4 + 0,01 ( x 2 - y 2 ) , portanto a altura varia 3
Use uma calculadora para avaliar a integral de linha correta até quatro casas decimais. ∫ C x y arctan ⁡ z d s, onde C tem equações paramétricas x = t 2, y = t 3, z = t, 0 ≤ t ≤ π 4
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x y e y z d y C :x = t , y = t 2 , z = t 3 , 0 ≤ t ≤ 1
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 )d s , onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1ey = 2 .
Calcular as integrais curvilíneas. ∫ C ( x 2 + y 2 - z )d s , onde C é a parte da interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 8 zez = 4