Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 20
Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
Passo 1
Fala aí, pessoal! Vamos continuar fazendo nosso trabalho com as integrais de linha, começando por entender o nosso enunciado e garantindo que vamos que entregar tudo que o professor pediu!
O enunciado começou falando a função :
E a curva pela função vetorial:
E o intervalo da variável é:
Queremos apenas calcular a integral de linha e ela pode ser reescrita como:
Onde o intervalo de integração nada mais é do que o intervalo da variável de integração, no nosso caso, a variável é , logo nosso intervalo de integração é:
Logo:
Passo 2
Agora vamos aplicar o que conhecemos na fórmula! Primeiro vamos separar quem é o valor de e através da curva :
O valor de é o elemento que acompanha o vetor unitário :
Enquanto o valor de é o elemento que acompanha o vetor unitário :
E por último, o valor de é o elemento que acompanha o vetor unitário :
Logo, a função pode ser reescrita a partir de , como:
Substituindo os valores, encontramos:
Então nossa integral se torna:
Para completar a integral, temos que calcular a derivada !
Passo 3
Sabemos que o valor da função vetorial é:
Derivando essa função:
Derivando individualmente cada parcela:
Chegamos em:
Então, aplicando na nossa integral inicial:
Passo 4
Hora de resolver o trabalho que já construímos até aqui:
Fazendo o produto escalar, ou seja, multiplicar o primeiro elemento do vetor pelo primeiro elemento do primeiro vetor e somar com o segundo elemento do primeiro vetor com o segundo elemento do segundo vetor:
Simplificando a expressão encontramos a integral:
Vamos integrar cada uma das parcelas somando em cada um dos expoentes e dividindo pelo mesmo valor do expoente:
Substituindo os valores do intervalo de integração:
Podemos dividir os dois valores por , então simplificamos em:
Chegamos no final de nossa integral!