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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Questão 3: Calcule a integral de linha

∫ C   x y 3   d s

Onde a curva C é definida na seguinte maneira:

x = 4 sin ⁡ t ,       y = 4 cos ⁡ t ,       z = 3 t       0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

A primeira coisa quando vamos calcular uma integral de linha é encontrar uma parametrização legal para a curva C . Mas para a nossa alegria, isso não é um problema já que a C já está parametrizada:

x = 4 sin ⁡ t ,       y = 4 cos ⁡ t ,       z = 3 t       0 ≤ t ≤ π 2

Podemos simplesmente melhorar a anotação e escrever essa parametrização da seguinte forma:

r → t = 4 sin ⁡ t ,   4 cos ⁡ t ,   3 t       o n d e       0 ≤ t ≤ π 2

Passo 2

A segunda manobra a se fazer é encontrar o termo d s ...

d s = r → ' t d t  

Derivando r → então...

r → t = 4 sin ⁡ t ,   4 cos ⁡ t ,   3 t           →                 r → ' t = 4 cos ⁡ t ,   - 4 sin ⁡ t ,   3

Extraindo o módulo...

d s = r → ' t d t       →             d s = 4 cos ⁡ t 2 + - 4 sin ⁡ t 2 + 3 2   d t             →

d s = 16 cos 2 ⁡ t + 16 sin 2 ⁡ t + 9   d t     →

d s = 16 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t + 9   d t     →

d s = 16 + 9   d t     →

d s = 5   d t

Passo 3

Antes de retornarmos a integral, temos mesmo apenas mais uma tarefa: substituir os termos da parametrização na função que vamos integrar:

x y 3           →               4 sin ⁡ t ⋅ 4 cos ⁡ t 3 =

256 sin ⁡ t ⋅ cos 3 ⁡ t

Passo 4

Voltando para a integral de linha e substituindo...

∫ C   x y 3   d s = ∫ 0 π 2 256 sin ⁡ t ⋅ cos 3 ⁡ t ⋅ 5   d t =

1280 ∫ 0 π 2 sin ⁡ t cos 3 ⁡ t   d t

Fazendo uma mudança de variáveis...

cos ⁡ t = u             →

d u = - sin ⁡ t d t                   o u               sin ⁡ t d t = - d u

Não se esquecendo dos limites...

t = 0               →                   u = cos ⁡ 0 = 1

t = π 2               →                   u = cos ⁡ π 2 = 0

1280 ∫ 1 0 u 3   - d u =

Podemos sumir com esse sinal de menos invertendo o intervalo de integração:

1280 ∫ 0 1 u 3   d u =

1280 u 4 4 0 1 = 1280 4 =

320

Resposta

320

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