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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger - P2 2022.1, Questão 6

6) Seja

G → x , y , z = 1 x - 1 x 2 z i → + 1 - 2 z e 2 y y 2 j → + e 2 y - 1 x z 2 k →

Verifique se G → é conservativo e em qual domínio. Se for, obtenha um potencial U tal que G → = ∇ → U

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função vetorial G → e temos que verificar se G → é conservativo e se sim, qual sua função potencial.

Parece complicado? 🤔

Para verificar se G → é conservativo temos que verificar se seu rotacional é igual a 0 , ou seja

R o t G → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z G 1 G 2 G 3

Após isso, vamos obter a função potencial de G → sabendo que a função potencial de um campo vetorial é dada por G → = ∇ → U .

Ou seja, o gradiente da função potencial resulta no campo G → .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Se G 1 = 1 x - 1 x 2 z , G 2 = 1 - 2 z e 2 y y 2 e G 3 = e 2 y - 1 x z 2 então

R o t G → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 1 x - 1 x 2 z 1 - 2 z e 2 y y 2 e 2 y - 1 x z 2

R o t G → = ∂ e 2 y - 1 x z 2 ∂ y - ∂ 1 - 2 z e 2 y y 2 ∂ z i → + ∂ 1 x - 1 x 2 z ∂ z - ∂ e 2 y - 1 x z 2 ∂ x j → + ∂ 1 - 2 z e 2 y y 2 ∂ x - ∂ 1 x - 1 x 2 z ∂ y k →

Calculando as derivadas parciais...

R o t G → = 2 e 2 y y 2 - 2 e 2 y y 2 i → + 1 x 2 z 2 - 1 x 2 z 2 j → + 0 - 0 k →

R o t G → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

O rotacional de G → resultou em um vetor nulo, portanto G → é conservativo em toda sua imagem.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos obter a função potencial de G → como

G → = ∇ → U = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z

∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z = 1 x - 1 x 2 z , 1 - 2 z e 2 y y 2 , e 2 y - 1 x z 2

A partir dessa igualdade, temos

∂ U ∂ x = 1 x - 1 x 2 z → ∂ U = 1 x - 1 x 2 z ∂ x

∂ U ∂ y = 1 - 2 z e 2 y y 2 → ∂ U = 1 - 2 z e 2 y y 2 ∂ y

∂ U ∂ z = e 2 y - 1 x z 2 → ∂ U = e 2 y - 1 x z 2 ∂ z

Integrando nos dois lados das equações, temos

∫ d U = ∫ 1 x - 1 x 2 z d x → U = ln ⁡ x + 1 x z + C

∫ d U = ∫ 1 - 2 z e 2 y y 2 d y → U = z e 2 y - 1 y + C

∫ d U = ∫ e 2 y - 1 x z 2 d z → U = z e 2 y + 1 x z + C

Portanto, U é dada por

U = ln ⁡ x + z e 2 y + 1 x z - 1 y + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

U = ln ⁡ x + z e 2 y + 1 x z - 1 y + C

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