Integrais de linha – caso escalar
Determine a massa do fio descrito pelas equações e com densidade .
Passo 1
O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa . Sendo um comprimento infinitesimal do fio e o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:
Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva que representa o fio, temos o seguinte:
Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.
Passo 2
Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva né? Sabemos que é descrita pelas equações:
Portanto, é a interseção de uma esfera com um plano, ou seja, uma circunferência no espaço. Vamos fazer essa interseção:
Vemos, então, que a projeção de no plano é uma elipse. Vamos usar coordenadas elípticas então!
Esse coeficiente “” está aí para cancelar o “” que temos na equação de elipse quando fazermos a mudança elíptica, e nos levar a .
Como, nas coordenadas elípticas, a nossa elipse é descrita por , temos:
Show, agora ficou faltando a coordenada , certo? Nós sabemos que , portanto:
Então, nossa parametrização é:
Como o problema não dá nenhuma outra informação sobre a curva, deduzimos que se trata da elipse toda, logo, .
Passo 3
Vamos, agora, calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo a função densidade nas variáveis da nossa parametrização:
Com a parametrização
A função que vamos integrar
Passa a ser
Então a integral fica
Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para na parametrização!
Passo 6
Agora falta resolver a integral né? Precisamos lembrar dessas igualdades aqui:
Levando para a integral