Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Determine a massa do fio descrito pelas equações x 2 + y 2 + z 2 = 1 e z = y com densidade δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa δ x , y , z . Sendo d s um comprimento infinitesimal do fio e d m o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y , z d s

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva γ que representa o fio, temos o seguinte:

M = ∫ γ   δ x , y , z d s

M = ∫ γ   x 2 + y 2 d s

Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.

Passo 2

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Sabemos que γ é descrita pelas equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

z = y

Portanto, γ é a interseção de uma esfera com um plano, ou seja, uma circunferência no espaço. Vamos fazer essa interseção:

x 2 + y 2 + y 2 = 1

x 2 + 2 y 2 = 1

Vemos, então, que a projeção de γ no plano x y é uma elipse. Vamos usar coordenadas elípticas então!

x = r cos ⁡ θ

y = 1 2 r   s e n   θ

Esse coeficiente “ 1 2 ” está aí para cancelar o “ 2 ” que temos na equação de elipse quando fazermos a mudança elíptica, e nos levar a r = 1 .

Como, nas coordenadas elípticas, a nossa elipse é descrita por r = 1 , temos:

x = cos ⁡ θ

y = 1 2 s e n   θ

Show, agora ficou faltando a coordenada z , certo? Nós sabemos que z = y , portanto:

z = y = 1 2 s e n   θ

Então, nossa parametrização é:

σ → ( θ ) = cos ⁡ θ ,   1 2 s e n   θ ,   1 2 s e n   θ

Como o problema não dá nenhuma outra informação sobre a curva, deduzimos que se trata da elipse toda, logo, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d cos ⁡ θ d θ , d 1 2 s e n   θ d θ , d 1 2 s e n   θ d θ = -   s e n   θ , 1 2 cos ⁡ θ , 1 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = -   s e n   θ 2 + 1 2 cos ⁡ θ 2 + 1 2 cos ⁡ θ 2 =

= s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Passo 5

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo a função densidade nas variáveis da nossa parametrização:

M = ∫ γ   δ x , y , z d s = ∫ a b δ x θ ,   y θ , z θ ⋅   σ → ' d θ

Com a parametrização σ → ( θ ) = cos ⁡ θ ,   1 2 s e n   θ ,   1 2 s e n   θ

A função que vamos integrar

δ x , y , z = x 2 + y 2

Passa a ser

δ x θ , y θ , θ = cos 2 ⁡ θ + 1 2 s e n 2 θ

Então a integral fica

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ + 1 2 s e n 2 θ 1   d θ

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ + 1 2 s e n 2 θ   d θ

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 6

Agora falta resolver a integral né? Precisamos lembrar dessas igualdades aqui:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2  

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2  

Levando para a integral

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + 1 - cos ⁡ 2 θ 4 d θ

= 1 4 ∫ 0 2 π 2 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 - cos ⁡ 2 θ d θ =

= 1 4 ∫ 0 2 π 3 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= 1 4 3 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 2 π =

= 3 π 2

Resposta

3 π 2

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