- Um arame fino é entortado no formato da curva das superfícies e , situado no primeiro octante e que liga o ponto ao ponto . Calcule a massa do arame, sendo a densidade em cada ponto proporcional ao quadrado da distância do ponto ao plano .
Passo 1
Ouvi falar em Massa?! Cara! Massa de arame ou massa de curva, a essa altura do campeonato, é dada por:
Onde é a curva que estamos trabalhando e é a função de densidade da curva, saca?
A densidade dessa curva nos foi dito que é o quadrado da distância ao plano . À distância de qualquer ponto a esse plano é dado por
Logo:
e
Mas como toda integral de linha, devemos seguir um passo a passo maroto:
- Parametrizar a curva que estamos trabalhando
- Trocar os termos da função
- Encontrar o termo
Bora? :D
Passo 2
Devemos parametrizar a curva , mas a pergunta mais ideal a fazer por enquanto é: quem é a ?
Bem, como o próprio exercício já nos disse, o arame está a interseção da esfera de raio 2 aqui oh...
com o plano paralelo ao eixo , ...
Mais precisamente, o arame está no primeiro octante...
e unindo esses dois pontos e ditos no enunciado. Logo, a curva que estamos trabalhando é...
Essa vermelhona aí, pegou?
Passo 3
Para parametriza-la vamos considerar que, como já mencionamos, a curva é a intercessão de duas superfícies no espaço. Então nada mais justo que realizar essa intercessão na matemática também, concorda?
Fazer isso é resolver o sistema com as duas equações:
Substituindo a segunda na primeira...
Essa equação representa uma elipse, quer ver só?!
Passando esse dividindo...
Viu? Uma elipse centrada na origem. A parametrização de elipses centrada na origem com esse formato geral sempre será:
Como no nosso caso e . Assim, uma parametrização é:
Como ...
A parametrização bonitinha então é:
Passo 4
Lembre-se de que nunca terminamos uma parametrização sem antes dizer onde o parâmetro, no caso o , está variando!
Repare que vamos descobrir onde o parâmetro está variando olhando para a restrição:
A curva varia do ponto até o ponto !
De acordo com o ponto , a coordenada nesse ponto é ... Mas
De acordo com o ponto de chegada, o , ...
Então podemos afirmar que o varia de até :
Passo 5
Sendo assim, a nossa próxima função aqui é justamente mudar a função para os termos dessa parametrização (basta trocar esse , e aí)
Passo 6
Devemos agora encontrar o termo fazendo
derivando a curva portanto...
extraindo o módulo desse vetor derivada...
portanto
Passo 7
Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...
O será substituído pela variação do parâmetro:
Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu lembrando que !