Calcule
Onde e é a curva interseção das superfícies , com e .
Passo 1
Temos uma integral de linha escalar no , então não tem jeito, vamos jogar na fórmula:
Então só vamos ter que achar a parametrização da curva, que é a interseção das superfícies e , vamos ver como que fica isso!
Passo 2
Pra acharmos a parametrização de uma curva que é interseção de duas superfícies, primeiro temos que achar a projeção da curva no plano e, pra isso, é só substituir o em uma das equações. Aqui, o mais fácil é pegarmos esse:
E substituirmos aqui:
Usando o método de completar quadrados, vamos ter:
Que é uma elipse bem esquisita, mas que dá pra parametrizar assim:
E como tínhamos:
Então, completamos a parametrização para termos:
Como ele diz que , então vamos ter que .
Eita, eu sei que tá complicadão... Mas calma que são só valores estranhos, vamos nos manter confiantes que uma hora isso vai simplificar aí!
Passo 3
Agora temos que achar o módulo do vetor tangente:
E tirando o módulo, vamos ter:
Opa! Eu disse que uma hora isso ia simplificar! Acho que estamos no caminho certo, hein?
Passo 4
Agora já temos tudo que precisamos pra usar a fórmula, né?
Mas só pra não nos confundirmos na hora, vamos ver como que fica :
O que também é bem simpático, agora vamos só jogar tudo lá:
Ahh, muito fácil, né? Brincadeira, eu sei que essa foi bem chata... Mas é só não se desesperar que uma hora vai, se seguirmos o passo-a-passo.
Resposta
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