Calcule
Onde e é a interseção do cilindro parabólico com a parte do plano , tal que .
Passo 1
Integral de linha escalar no você já sabe, né, vamos pra fórmula:
E aqui a função é bem tranquilinha, só vamos ver como que fica a curva, que é uma interseção de superfícies, que as vezes é meio chato de fazer... Mas vamos sem medo!
Passo 2
Começamos achando a projeção da curva no plano , mas como aqui uma das curvas é um cilindro, ja encontramos a projeção direto!
Agora encontramos a coordenada , mas esse aqui também é bem tranquilo, porque ele dá um plano:
E como ele diz que , então vamos ter que o vai ser assim também: .
Passo 3
Agora vamos ter o módulo do vetor tangente:
E, se tirarmos o módulo, vamos ficar com:
Agora é só jogar tudo na fórmula!
Passo 4
Substituindo tudo, vamos chegar em:
Que a gente resolve pela substituição:
Então:
Aplicando os limites de integração, vamos fica com:
E foi, pronto!