Integrais de linha – caso escalar
Calcule a massa da curva dada pela intersecção das superfícies e , com densidade .
Passo 1
O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa . Sendo um comprimento infinitesimal do fio e o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:
Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva que representa o fio, temos o seguinte:
Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.
Passo 2
Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva né? Mas que curva é essa? Temos um paraboloide cortado por um plano, o que provavelmente vai nos dar uma elipse no espaço. Vamos susbstituir uma equação na outra:
Portanto, a projeção da nossa curva no plano é uma circunferência de raio deslocada da origem.
Vamos usar coordenadas polares com então:
Esse “” está aí para cancelar o “” que temos na equação da circunferência quando fazermos a mudança polar
Como, nas coordenadas polares, é descrita por , temos:
Show, agora ficou faltando a coordenada , certo? Nós sabemos que , portanto:
Então, nossa parametrização é:
Como o problema não dá nenhuma outra informação sobre a curva, deduzimos que se trata da circunferência toda, logo, .
Passo 3
Vamos, agora, calcular :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo a função densidade nas variáveis da nossa parametrização:
Com a parametrização
A função que vamos integrar
Passa a ser
Então a integral fica
Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para na parametrização!
Passo 6
Agora falta resolver a integral né? Precisamos lembrar dessa igualdade aqui:
Levando para a integral