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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Calcule a massa do fio cujo formato é o da curva da interseção das superfícies z = x 2 - y 2 e z = 4 - x 2 - y 2 , x > 0 , y ≤ 1 , com densidade δ x , y , z = y

Passo 1

Vamos recapitular a fórmula que usamos para calcular massa de um fio:

M = ∫ C δ x , y , z d S

Onde d S = σ ' ( t ) d t

Portanto vamos precisar encontrar uma parametrização para a nossa curva dada no enunciado!

Passo 2

Vamos lá então parametrizar nossa curva C ! Sabemos que ela é a interseção entre as superfícies

z = x 2 - y 2

z = 4 - x 2 - y 2

Portanto

x 2 - y 2 = 4 - x 2 - y 2

2 x 2 = 4

Como x > 0 , ficamos só com a raiz positiva

x = 2

Substituindo de volta na nossa equação

z = 2 2 - y 2

z = 2 - y 2

Vamos então definir

y = t

z = 2 - t 2

σ t = ( 2 , t , 2 - t 2 )

Derivando em relação a t ficamos com o vetor

σ ' t = 0,1 , - 2 t

σ ' t = 1 + 4 t 2

Passo 3

Voltando para a nossa integral da massa, substituindo todos os termos em relação a t

M = ∫ C t 1 + 4 t 2 d t

Os limites de t vão ser obtidos quando o enunciado diz que

y ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Como definimos y = t

- 1 ≤ t ≤ 1

Então nossa integral fica

M = ∫ - 1 1 t 1 + 4 t 2 d t

Passo 4

Como tiramos esse modulo aí da integral? Perceba que todos os termos dentro da integral são positivos, podemos então considerar que a integral limitada por - 1 e 0 tem o mesmo valor que a integral de 0 a 1, portanto:

M = 2 ∫ 0 1 t 1 + 4 t 2 d t

Note que o módulo desaparece porque t ≥ 0 . Pronto, agora é só integrar! Para isso vamos facilitar fazendo uma pequena substituição:

1 + 4 t 2 = u

8 t d t = d u

t d t = d u 8

t = 0 → u = 1

t = 1 → u = 5

M = 2 ∫ 1 5 u d u 8

= 1 4 2 u 3 2 3 u = 1 u = 5 = 1 6 5 3 - 1

= 5 5 - 1 6

Resposta

M = 5 5 - 1 6

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