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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Integrais de linha – Caso Escalar

Seja C a curva interseção da semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , a > 0 x ≥ 0 com o plano y = z . Determine o valor de a , se

∫ C 3 x y z = 16

Passo 1

Temos que calcular aquela integral de linha

∫ C 3 x y z

E ver se isso vai dar 16 , a primeira coisa a fazer é achar a curva que queremos parametrizar, vamos achar a interseção

x 2 + y 2 + y 2 = a 2

x 2 + 2 y 2 = a 2

x 2 a 2 + 2 y 2 a 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 a 2 / 2 = 1

Isso é uma elipse, então

x t = a cos ⁡ t

y t = a 2 sen ⁡ t

Mas repara que temos uma função em 3 variáveis né? Falta a parametrização do z ,

Lembra que

z = y

Então

z t = a 2 sen ⁡ t

Como ele quer x ≥ 0 vamos ter

a cos ⁡ t ≥ 0

Ele disse que a > 0 , então

cos ⁡ t ≥ 0

Isso faz com que

t ∈ - π 2 , π 2

A parametrização vai ser

σ t → = a cos ⁡ t , a 2 sen ⁡ t , a 2 sen ⁡ t

Onde t ∈ - π 2 , π 2

Passo 2

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - a sen ⁡ t , a 2 cos ⁡ t , a 2 cos ⁡ t

Passo 3

Vamos calcular σ t → '

σ t → ' = - a sen ⁡ t 2 + a 2 cos ⁡ t 2 + a 2 cos ⁡ t 2 = a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 2 cos 2 ⁡ t + a 2 2 cos 2 ⁡ t

⇒ a 2 sen 2 ⁡ t + a 2 cos 2 ⁡ t = a 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = a 2 = a

Passo 4

Substituindo na integral

∫ a b 3 x y z .   | σ → ' |   d t = ∫ a b 3 x t y t z t .   | σ → ' |   d t

∫ - π / 2 π / 2 3 a cos ⁡ t ∙ a 2 sen ⁡ t ∙ a 2 sen ⁡ t . a d t = 3 ∫ - π / 2 π / 2 a 4 2 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t d t

⇒ 3 a 4 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t d t

Vamos resolver essa integral separado

Passo 5

Temos que fazer

∫ cos ⁡ t sen 2 ⁡ t d t

Vamos fazer a substituição

sen ⁡ t = u

Isso porque

d u = cos ⁡ t d t

E a integral vai ficar

∫ cos ⁡ t sen 2 ⁡ t d t = ∫ u 2 d u

E vamos ter

∫ u 2 d u = u 3 3

Voltando para t

u 3 3 = sen 3 ⁡ t 3

Passo 6

Voltando para a integral no final do passo 6

3 a 4 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t d t

Vamos ter

⇒ 3 a 4 2 sen 3 ⁡ t 3 t = - π 2 π 2 = 3 a 4 2 sen 3 ⁡ π 2 3 - sen 3 ⁡ - π 2 3

⇒ 3 a 4 2 1 3 - - 1 3 3

⇒ 3 a 4 2 1 3 + 1 3

⇒ 3 a 4 2 2 3 = a 4  

Então

∫ C 3 x y z = a 4

Passo 7

Agora vamos ter

a 4 = 16

E

a = 2

Normalmente teríamos a = ± 2 , mas ele disse que a > 0

Resposta

a = 2

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