Integrais de linha – caso escalar
Calcule onde é a parte da interseção do plano com a superfície , , de ponto inicial e final .
Passo 1
Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva né? Vamos usar as informações que o problema deu. Temos a interseção entre:
, onde
Vamos tentar escrever cada uma das coordenadas , e em função de um único paramêtro, Vamos escolher o como parâmetro, para ficar mais fácil! Repara que podemos escrever o seguinte:
Logo, uma parametrização para a nossa curva seria
Certo, agora precisamos do intervalo de , né? Isso nós tiramos da informação que está faltando: ponto inicial e final , o que nos dá que .
Passo 2
Vamos, agora, calcular :
Passo 3
Agora, calculamos :
Passo 4
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo em função de , nosso parâmetro:
Com a parametrização , a função que vamos integrar
Passa a ser
Então a integral fica
Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para na parametrização!
Passo 5
Agora falta resolver a integral né? Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora vamos analisar a integral com calma, temos:
Fazendo a substituição, temos então: