Seja a curva obtida pela interseção do cilindro elíptico com o plano , satisfazendo . Parametrize a curva e calcule .
Passo 1
Como a curva pertence ao cilindro elíptico, sabemos que sua projeção no plano é uma elipse dada por:
Podemos, então, parametrizar essa curva por . Precisamos, agora, escrever em função no nosso parâmetro , certo? Sabemos que a curva também pertence ao plano, então, temos . Como já definimos , temos e a parametrização será dada por:
Para termos , temos .
Passo 2
Vamos, agora, calcular :
Passo 3
Agora, calculamos :
Passo 4
Podemos, então, substituir na fórmula abaixo, escrevendo em função de :
Passo 5
Agora vamos resolver a integral usar a fórmula do arco duplo :