Um pedaço de arame tem a forma da curva interseção da esfera como plano . Calcule a massa do arame se a densidade é dada por .
Passo 1
Pra achar a massa do arame, é só fazer a integral de linha da densidade, o que nos leva pra uma integral de linha escalar, que a gente resolve usando nossa conhecida fórmula:
E ele dá a densidade já, então só vamos ter que parametrizar a curva pra achar o vetor tangente e depois jogar tudo na fórmula.
Passo 2
Temos a interseção de duas superfícies, uma é bem tranquila, é só um plano:
Mas a outra é bem mais complicada:
Uma esfera descentralizada.
Agora temos que achar a projeção da curva no plano e, pra isso, é só substituir a lá do plano na esfera:
Que é uma elipse descentralizada que podemos parametrizar assim:
A coordenada nós tiramos daquela equação do plano e, assim, ficamos com:
Passo 3
Agora vamos achar o módulo do vetor tangente:
Aí a gente calcula o módulo:
Ufa, pelo menos isso ficou tranquilo... Vamos ver como que vai ficar a fórmula toda, então!
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula que tínhamos lá em cima, a gente fica com:
Calma, tamos quase lá...
E pronto, chegamos na resposta!