Origem do Exercício
Quando uma curva , passa pelo domínio de uma função no espaço, os valores de ao longo da curva são dados pela função composta . Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de a , calcula-se a integral de linha de ao londo da curva.
Portanto .
Calcule a integral de linha onde é a hélice circular dada por , .
Passo 1
O enunciado já deu a fórmula que precisamos usar:
Então temos três tarefas: (1) Calcular , (2) Calcular e (3) Resolver a integral!
Passo 2
Vamos começar com a primeira:
Nesse caso só precisamos substituir com as seguintes igualdades:
Então:
Passo 3
Agora vamos calcular , ou seja, o módulo do vetor velocidade daquela curva .
Para achar a velocidade, precisamos derivar a curva em relação ao tempo:
E agora calculamos o módulo desse vetor, usando essa fórmula:
Então:
Passo 4
Agora já podemos calcular a integral:
Sabendo que:
Então:
Pronto! Esse é o valor da nossa integral.
Resposta
Letra (c).