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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R³

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Enunciado

Integrais de linha – caso escalar

Calcule a massa do arame com formato γ , onde γ é a curva obtida pela interseção das superfícies

x - 1 2 + 2 y + 1 2 + z 2 = 2

z = x - 1

Com densidade δ x , y , z = 1 + y + 1 2 .

Passo 1

O problema nos pede a massa do fio, sendo que nos foi dada a densidade de massa δ x , y , z . Sendo d s um comprimento infinitesimal do fio e d m o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y , z d s

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva γ que representa o fio, temos o seguinte:

M = ∫ γ   δ x , y , z d s

Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.

Passo 2

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Sabemos que ela é dada pela interseção entre as superfícies:

x - 1 2 + 2 y + 1 2 + z 2 = 2

z = x - 1

A primeira é um elipsoide (por causa do coeficiente 2 no termo y ) deslocado da origem (por causa do + 1 no termo y ) e a segunda é um plano. Ok, imagina um elipsoide cortado por um plano, qual a curva que isso forma? Uma elipse, né?

Vamos fazer se interseção entre as equações para ver

x - 1 2 + 2 y + 1 2 + ( x - 1 ) 2 = 2

2 x - 1 2 + 2 y + 1 2 = 2

x - 1 2 + y + 1 2 = 1

Ótimo, achamos uma circunferência, né? NÃO! Isso aqui quer dizer que nossa curva é uma circunferência no plano x y , ou seja, sua projeção é uma circunferência. Mas no 3 D , temos uma elipse.

Mas beleza, vamos parametrizar a projeção em x y e depois adicionamos a outra coordenada z . Mas cadê o z na equação?Lembra que a curva faz parte das duas superfícies, então a equação do plano vale para a elipse também:

z = x - 1

Parametrizando a projeção x - 1 2 + y + 1 2 = 1 em coordenadas polares:

r → θ = ( cos ⁡ θ + 1 ,   s e n   θ - 1 )

Essse + 1 e - 1 estão aí para cortar com o - 1 e + 1 da nossa equação e formar a identidade trigonométrica s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 .

Show, agora, temos que z = x - 1 para a elipse. Sendo x = cos ⁡ θ + 1 pela parametrização da projeção, temos, para a elipse, z = cos ⁡ θ :

σ → ( θ ) = ( cos ⁡ θ + 1 ,   s e n   θ - 1 ,   cos ⁡ θ )

Como o problema não dá nenhuma outra informação sobre a curva, deduzimos que se trata na elipse toda, logo, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d cos ⁡ θ + 1 d θ , d s e n   θ - 1 d θ , d cos ⁡ θ d θ = ( -   s e n   θ , cos ⁡ θ , -   s e n   θ )

Passo 4

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = -   s e n   θ 2 + cos ⁡ θ 2 + -   s e n   θ 2 =

= 1 + s e n 2 θ

Passo 5

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de x , nosso parâmetro:

M = ∫ C   δ x , y , z d s = ∫ a b δ x θ ,   y θ , z θ ⋅   σ → ' d θ

Com a parametrização   σ → ( θ ) = ( cos ⁡ θ + 1 ,   s e n   θ - 1 ,   cos ⁡ θ ) , a função que vamos integrar

δ x , y , z = 1 + y + 1 2

Passa a ser

δ x θ , y θ , θ = 1 + s e n   θ - 1 + 1 2 = 1 + s e n 2 θ

Então a integral fica

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π 1 + s e n 2 θ 1 + s e n 2 θ   d θ

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π 1 + s e n 2 θ   d θ

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para x na parametrização!

Passo 6

Agora falta resolver a integral né? Precisamos lembrar dessa igualdade aqui:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2  

Levando para a integral

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 2 π 1 + 1 - cos ⁡ 2 θ 2     d θ

= ∫ 0 2 π 3 2 - cos ⁡ 2 θ 2     d θ =

= 3 θ 2 - 1 4 s e n   2 θ 0 2 π =

= 3 π

Resposta

3 π

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