Encontre a massa de um arame que tem a forma da interseção da esfera e do plano , se a densidade do arame em for .
Passo 1
Ele esta pedindo a massa, então o que nós devemos cálcular é algo no tipo, vê se você concorda:
No enunciado ele já dá a densidade , então só fica faltando parametrizar a curva e encontrar o . Então vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, nós vemos que o plano pode ser escrito como , certo?
Então, jogando na equação da esfera, temos que a projeção no plano fica:
Que é uma elipse que pode ser parametrizada por:
Mas essa é só a projeção e não podemos esquecer a coordenada da curva:
Então, finalmente:
Passo 3
Agora podemos calcular as derivadas da parametrização:
Assim:
Opa! Isso é legal, parece que não vamos ter que calcular nenhuma integral muito complicada. Vamos ver como que vai ficar!
Passo 4
A nossa função em termos de será:
Vamos jogar tudo que achamos naquela fórmula da integral:
Passo 5
Agora temos que resolver esses monstrinhos!
Lembrando que:
Então:
Fazendo a substituição no de , obtemos que:
Logo: