Seja a curva parametrizada , .
- Qual a distância, menor possível, do ponto da curva para ao ponto da curva para ?
- Considere uma partícula de massa desprezível que percorre a curva . Qual seria a distância percorrida sobre a curva para a partícula ir do instante até o instante ?
Passo 1
A letra b) nos pede para calcularmos a distância percorrida por uma partícula em uma curva entre os tempos .
Sabemos que o comprimento de arco de uma curvatura pode ser expressa por:
Em que e é o intervalo que a partícula percorre e é a norma da derivada da curva parametrizada.
Como são muitas informações, vamos começar a montar a nossa integral devagar. Primeiramente, os limites de integração são e . Portanto,
Já a derivada da curva parametrizada é:
E a sua norma é:
Portanto, a nossa integral é:
Passo 2
A parte mais difícil da questão já foi resolvida, a qual era obter a integral. Agora, só nos resta resolvê-la! Portanto,
Portanto, a distância percorrida pela partícula foi .