Passo 1

Primeiro vamos separar a solução em duas partes. A primeira vamos analisar somente λ - 4 3 e depois λ 2 - 8 λ + 25 2

Entao, a primeira parte é mais simples, temos que a equação associada tem raiz λ = 4 com multiplicidade igual a 3, logo as soluções são:

{ e 4 x , x e 4 x , x 2 e 4 x }

Passo 2

Vamos agora analisar as soluções de λ 2 - 8 λ + 25 2

Primeiro vamos ver quais são as raízes, assim, resolvendo a equação:

λ = 8 ± 64 - 100 2

Então:

λ 1 = 4 + 3 i

λ 2 = 4 - 3 i

Logo as soluções para essas raízes são:

e 4 x cos ⁡ 3 x , e 4 x sen ⁡ 3 x

Como possui raiz dupla, temos que as soluções são:

{ e 4 x cos ⁡ 3 x , e 4 x sen ⁡ 3 x , x e 4 x cos ⁡ 3 x , x e 4 x sen ⁡ 3 x }

Passo 3

Com isso podemos escrever a solução geral:

y = c 1 e 4 x + c 2 x e 4 x + c 3 x 2 e 4 x + c 4 e 4 x cos ⁡ 3 x + c 5 e 4 x sen ⁡ 3 x + c 6 x e 4 x cos ⁡ 3 x + c 7 x e 4 x sen ⁡ 3 x

Resposta

y = c 1 e 4 x + c 2 x e 4 x + c 3 x 2 e 4 x + c 4 e 4 x cos ⁡ 3 x + c 5 e 4 x sen ⁡ 3 x + c 6 x e 4 x cos ⁡ 3 x + c 7 x e 4 x sen ⁡ 3 x

c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6 , c 7 ∈ R

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