UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 22
Seja uma solução particular da equação homogênea associada à equação
Então a solução geral de (1) é , em que é uma constante arbitrária.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar dissecando esse enunciado?
“Seja uma solução particular da equação homogênea associada à equação ,”
Isso quer dizer que o lado direito da igualdade é zero. Uma equação diferencial (equação que tem derivadas) homogênea é quando . Quando ela é não-homogênea, .
E que é solução dessa equação homogênea, então satisfaz a equação
E satisfazer a equação diferencial é: pegar a solução dada , derivar quantas vezes forem preciso (aqui só precisamos até a derivada segunda), substituir função e derivadas na equação e achar uma sentença matemática verdadeira. Isto é: achar um . Beleza?
Seguimos no enunciado:
“Então a solução geral de (1) é , em que é uma constante arbitrária.”
A solução geral de (1) é a solução que é ao mesmo tempo, satisfaz a equação diferencial homogênea e a equação diferencial não-homogênea.
Então o problema nos diz que a solução é solução da equação diferencial
Nosso objetivo agora é testar se essa candidata a solução satisfaz a equação, encontrando uma sentença matemática verdadeira
Algo como:
Que é verdade, independentemente de qualquer situação.
Beleza até aqui?
Passo 2
Para que uma função seja solução, não custa nada repetir, ela precisa satisfazer a equação diferencial. Então é isso que vamos fazer: testar se essa candidata a solução serve ou não.
O problema pergunta se
é solução para a equação diferencial
Agora precisamos derivar isso, duas vezes!
Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:
E isso serve para a derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso na equação diferencial:
Tranquilo?
Passo 3
Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em (e suas derivadas) e tudo que for em (e suas derivadas também):
E agora vamos voltar lá para o passo 2: vamos relembrar a condição necessária para que a função seja solução da homogênea associada:
Sendo assim, podemos substituir essa condição no primeiro colchete da esquerda ali da equação “(guarda isso)”:
Mas bem no começo eu disse:
O que encontramos foi isso aqui:
E que está longe de ser verdade para qualquer situação, já que caímos em outra equação diferencial.
Isso só seria verdade se , o que é apenas um caso específico.
Logo, a afirmação do problema está incorreta.
E a opção certa é: falso
Por enquanto é isso pessoal!
Até a próxima!