Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Temos uma derivada de quinta ordem aparecendo aqui. Então nossa EDO é na verdade uma EDO de 5ª ordem. Isso pode assustar um pouco de primeira, mas vamos agir da mesma maneira que agimos para o caso da EDO de ordem, ou seja, vamos encontrar a equação característica:
Passo 2
Encontrada a equação característica, vamos resolvê-la. Colocamos o em evidência:
Então, temos duas situações aqui:
Da primeira equação, já tiramos que é uma das raízes. Beleza, da segunda, definimos , então:
Ou seja, temos:
Resolvemos agora para cada sinal:
É muito importante fazer esse negócio de substituir por para não acabar comendo nenhuma raiz no caminho, beleza?
Legal, então encontramos todas as raízes e elas são distintas.
Passo 3
Vamos olhar para cada uma das raízes para verificar a solução. Temos que , que é uma raiz real, então teremos solução:
Agora, para e , que são diferentes de outras raízes:
Como e são raízes complexas, olhamos para o par:
Elas são raízes puramente imaginárias, então a solução será dada na forma de senos e cossenos e englobará o par imaginário.
Dessa maneira mesmo, sem considerar o sinal negativo. Tanto faz qual é seno e qual é cosseno, o que importa é que os dois vão aparecer na solução final.
Passo 4
Determinadas todas as soluções, a solução geral será dada pela combinação linear delas:
Como o problema não nos deu nenhuma outra informação, deixamos a resposta assim com as constantes gerais.