Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Encontre todas as soluções da EDO:

d y 5 d x 5 - 16 d y d x = 0

Passo 1

Temos uma derivada de quinta ordem aparecendo aqui. Então nossa EDO é na verdade uma EDO de 5ª ordem. Isso pode assustar um pouco de primeira, mas vamos agir da mesma maneira que agimos para o caso da EDO de 2 ª ordem, ou seja, vamos encontrar a equação característica:

d y 5 d x 5 - 16 d y d x = 0 ⟹ r 5 - 16 r = 0

Passo 2

Encontrada a equação característica, vamos resolvê-la. Colocamos o r em evidência: r r 4 - 16 = 0

Então, temos duas situações aqui: r = 0

r 4 - 16 = 0

Da primeira equação, já tiramos que r 1 = 0 é uma das raízes. Beleza, da segunda, definimos u = r 2 , então:

u 2 - 16 = 0

u = ± 16 = ± 4

Ou seja, temos: r 2 = ± 4

Resolvemos agora para cada sinal: r = ± + 4 = ± 2 ⟹ r 2 = 2 r 3 = - 2

r = ± - 4 = ± 2 i ⟹ r 4 = 2 i r 5 = - 2 i

É muito importante fazer esse negócio de substituir r 4 por u 2 para não acabar comendo nenhuma raiz no caminho, beleza?

Legal, então encontramos todas as 5 raízes e elas são distintas.

Passo 3

Vamos olhar para cada uma das raízes para verificar a solução. Temos que r 1 = 0 , que é uma raiz real, então teremos solução: y 1 x = e r 1 x = e 0 = 1

Agora, para r 2 = 2 e r 3 = - 2 , que são diferentes de outras raízes: y 2 x = e r 2 x = e 2 x

y 3 x = e r 3 x = e - 2 x

Como r 4 e r 5 são raízes complexas, olhamos para o par:

r 4 = 2 i

r 5 = - 2 i

Elas são raízes puramente imaginárias, então a solução será dada na forma de senos e cossenos e englobará o par imaginário.

y 4 = sen ⁡ 2 x

y 5 = cos ⁡ 2 x

Dessa maneira mesmo, sem considerar o sinal negativo. Tanto faz qual é seno e qual é cosseno, o que importa é que os dois vão aparecer na solução final.

Passo 4

Determinadas todas as soluções, a solução geral será dada pela combinação linear delas: y x = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4 + c 5 y 5

y x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e - 2 x + c 4 sen ⁡ 2 x + c 5 cos ⁡ 2 x

Como o problema não nos deu nenhuma outra informação, deixamos a resposta assim com as constantes gerais.

Resposta

y x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e - 2 x + c 4 sen ⁡ 2 x + c 5 cos ⁡ 2 x

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