UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Listas da Prof. Thaís Dalbelo – Lista 1 – 4d
Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos responder essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e duas funções , e pediu pra gente verificar se essa função é solução da EDO. Lembra como é que faz isso?
Nós precisamos derivar a nossa função, substituir na EDO e ver se isso é igual a zero, nesse caso. Se for, ela será uma solução pra essa equação diferencial.
Vamos lá!?
Passo 2
Vamos começar verificando Derivando , temos:
Derivando novamente, temos:
Substituindo na EDO :
Multiplicando termo a termo:
Resolvendo:
Como o resultado é zero, é solução da EDO.
Passo 3
Agora vamos verificar . Nós vamos derivar aplicando a regra do produto
Nesse caso, vamos chamar de e de . Assim, temos:
Simplificando:
Nós vamos precisar derivar novamente antes de substituir na EDO. Pra isso, vamos usar agora a regra do quociente:
Onde é o nosso numerador , e é o nosso denominador . Então, vamos lá:
Colocando em evidência:
Passo 4
Agora sim podemos substituir na EDO:
Simplificando:
Colocando tudo no mesmo denominador:
Passando o multiplicando do outro lado e simplificando mais um pouquinho, temos:
Mais uma vez chegamos a zero, portanto, também é solução da EDO.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉