Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Teste 10: Seja a equação

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

E sejam y 1 , y 2 e y 3 soluções linearmente independentes da mesma. Analise as seguintes afirmações sobre o produto y 1 y 2 y 3 . O referido produto é da forma:

  1. P x e 3 x , com P x polinômio de grau menor ou igual a 6 .
  2. P x e 3 x , com P x polinômio de grau menor ou igual a 3 .
  3. P x e 3 x , com P x polinômio de grau menor ou igual a 1 .
  4. A e 3 x , com A constante real.

São verdadeiras:

  1. A p e n a s   1 .
  2. T o d a s .
  3. A p e n a s   1 ,   2   e   3 .
  4. N e n h u m a .
  5. A p e n a s   1   e   2 .

Passo 1

Vamos resolver a EDO e conferir as afirmações então ! Resolvendo por comparação com a equação característica...

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0   →

Pow, perceba que resolver essa equação não é uma tarefa fácil, já que estamos falando de uma equação de terceira ordem, mas se você se recordar láaaa da matemática do ensino médio, podemos nos lembrar que:

r - a 2 = r 3 - 3 a r 2 + 3 a 2 r - a 3

Se falarmos que a = 1 ...

r - 1 3 = r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1

Logo...

r - 1 3 = 0   →

Essa equação só é 0 quando:

r = 1

Logo, a nossa equação característica possui 3 raízes reais e iguais. As soluções fundamentais então serão:

y 1 = C 1 e x

y 2 = C 2 x e x

y 3 = C 3 x 2 e x

Passo 2

Agora é só conferir o produto:

y 1 y 2 y 3 = C 1 e x C 2 x e x C 3 x 2 e x

y 1 y 2 y 3 = C x 3 e 3 x

Veja que apenas os itens 1 e 2 estão corretos !

Resposta

e )   A p e n a s   I   e   I I

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