UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 2
Existe uma constante de forma que a equação possui uma solução da forma
Verdadeiro ou falso?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.
A EDO
Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:
As derivadas primeira e segundas:
E agora precisamos substituir na EDO:
Podemos dividir tudo por e ficamos com a famosa equação característica:
As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.
Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.
Passo 2
E a equação característica
Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:
Então a solução da homogênea é:
Passo 3
Agora a particular!
A equação diferencial particular associada é:
Como na nossa homogênea não tem nada com , podemos chutar uma solução particular do tipo:
Bem parecida com a função da não-homogênea associada!
Caso nossa solução da homogênea desse alguma coisa com exponencial multiplicando com , aí sim precisaríamos multiplicar nossa solução por um polinômio de ordem superior para remover a dependência linear das soluções. Mas isso não aconteceu aqui!
Então por isso a afirmativa é verdadeira.
Tranquilo?
Espero ter ajudado!