UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 5 – Questão 13
A solução geral do problema de valor inicial
É, onde
Passo 1
Oi, tudo bem? Vamos começar?
Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:
E aí a derivada primeira e segunda são:
E pra sabermos quais valores de solucionam essa equação (que são os valores de e na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:
E como para termos solução não trivial e para qualquer , então podemos dividir toda essa equação por e ficamos com a equação característica:
Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.
Passo 2
São raízes imaginárias:
E aí a solução fica uma combinação de senos e cossenos com exponencial. Como relembrar é viver, vamos rever como é a solução mais geral. Se tivermos raízes imaginárias do tipo:
Então a solução é:
No nosso caso temos que e , então a solução fica:
Agora precisamos determinar os coeficientes! Precisamos das condições iniciais =)
Passo 3
O problema nos diz que:
Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:
E na derivada:
E em
Daí já temos as constantes:
Pronto! Agora já sabemos as constantes!
E o resumo das respostas é:
Então é isso pessoal! Terminamos!