UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - Avaliação EDO Alta Ordem 2020.2, Questão 1f
Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?
Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.
Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:
Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:
E, por fim, se as raízes forem complexas com , temos uma solução da forma:
Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.
Vamos lá!
Passo 2
Para a nossa EDO:
Temos a equação característica:
Pra ficar mais fácil de descobrir as raízes dessa equação, vamos tentar agrupar os termos:
Fatorando , temos:
Vamos colocar o termo em evidência:
Vamos fatorar agora:
Pra esse produto ser verdadeiro ou . Daí, nós temos:
Passo 3
Então, nossas raízes são , .
Repare que nós temos três raízes iguais e uma raiz distinta, todas reais. Dessa forma, nós temos uma solução da forma . E para as raízes iguais a gente vai multiplicando cada termo da solução por , pra que eles não fiquem iguais, então: .
Juntando tudo, temos nossa solução geral:
Substituindo das raízes:
Beleza!?
Até a próxima, galera! 😉