UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 9
A solução do problema de valor inicial ,
É:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.
A EDO
Colocando zero do lado direito temos:
Essa é a equação diferencial homogênea associada. Ela tem coeficientes constantes, então vamos supor uma solução do tipo exponencial.
Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:
As derivadas primeira e segundas:
E agora precisamos substituir na EDO:
Podemos dividir tudo por e ficamos com a famosa equação característica:
As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.
Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.
Passo 2
E a equação característica
Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:
Essas raízes são do tipo então temos que as soluções são:
Como e
Então a solução da homogênea é:
Guardamos essa solução!
Passo 3
Agora a particular!
Como a equação diferencial tem duas funções do lado direito, vamos ter que descobrir duas soluções particulares.
A equação diferencial particular associada é:
Primeiro vamos começar escolhendo umas das duas funções, ou , para achar a particular associada.
Vou escolher a solução particular parecida com .
A equação diferencial associada a essa função é:
Podemos chutar algo parecido, já que na homogênea associada não temos nenhum polinômio. Assim vamos chutar .
Bem parecida com a função da não-homogênea associada!
Agora pra saber quem são os coeficientes , vamos derivar essa e substituir na equação diferencial (apenas com o termo do lado direito):
Agora derivando uma vez:
Substituindo na equação diferencial associada:
Então igualando os termos semelhantes dos dois lados temos que:
Então temos que o :
O
E o :
Aí nossa solução particular é:
Passo 4
Agora vamos descobrir quem é a solução do outro particular associado. A outra função é , então como a homogênea não tem nada de exponencial, podemos chutar algo .
A segunda particular fica:
A derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo na equação particular associada temos:
A segunda solução particular vai ser:
Passo 5
A solução geral da nossa equação diferencial vai ser a soma da solução da homogênea com as soluções particulares.
Juntando essa solução particular com a homogênea do passo 2 temos:
E o passo final é determinar aquelas constantes ali. Para isso vamos usar as condições iniciais dadas
Usando a :
E aí nossa solução fica
Ainda precisamos achar !
E agora derivando a solução para poder usar a segunda condição inicial:
E agora aplicando :
Tranquilo?
Passo 6
E agora nossa solução está bem determinada:
Com e :
E a alternativa que nos diz isso é a (a). Show!
Espero ter ajudado!