UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 4 – Questão 6
A solução geral do problema de valor inicial
É , onde
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:
E aí a derivada primeira e segunda são:
E pra sabermos quais valores de solucionam essa equação (que são os valores de e na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:
E como para termos solução não trivial e para qualquer , então podemos dividir toda essa equação por e ficamos com a equação característica:
Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.
Passo 2
E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:
E daqui saem as duas raízes:
Então daqui temos que:
E a solução geral é:
E pra determinar quais são os valores de e precisamos de duas condições iniciais.
Passo 3
O problema nos diz que:
Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:
E na derivada:
E em
Daí temos o seguinte sistema:
E se a gente fizer vamos eliminar :
Beleza? Agora é só escolher alguma equação do sistema pra achar . Aqui vou escolher a (1):
Pronto! Agora já sabemos as constantes!
E o resumo das respostas é:
Então é isso pessoal! Terminamos!
Espero ter te ajudado!
=D