Exercício nº 2 letra e lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014
Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Temos aqui um problema que envolve uma derivada de ordem:
Só que conseguimos melhorar nossa situação usando uma parada muito útil! Vamos usar a substituição simples de início:
-Substituindo:
Eita, isso é uma EDO de segunda ordem homogênea, no estilão que costumamos resolver!
Temos, então
Passo 2
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 3
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Passo 4
Encontrar a solução:
Mas sabemos que
Logo:
Uma Edo separável!!
Como resolver essa integral??
Tem que fazer duas integrações por partes:
E novamente:
Notou que as duas integrais são iguais?! Pois é! Vamos ajeitar essa equação!
Passando a integral pro lado esquerdo:
A outra integral é exatamente o mesmo procedimento para resolver! Essa dará:
Logo finalmente:
Não importa muito como ficam as constantes que multiplicam o seno e o cosseno, porque elas são determinadas pelas condições iniciais, assim podemos trocar isso por outra constante:
Outro exercício bem diferente, né? Bastante trabalhoso por causa das integrais, mas foi um ótimo treino, você está vendo tudo quanto é tipo de exercício diferente!