UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 6 – Questão 8
Sejam e soluções das equações
Em que são funções contínuas em um intervalo . Então, qualquer combinação linear entre e é solução da equação homogênea associada à (1).
Verdadeiro ou falso.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece ser bem complicada, mas vou ajudar você!
O problema deu uma equação diferencial não homogênea
E nos disse que e são soluções da EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ASSOCIADA. Mas, qual é essa equação homogênea? É quando a gente faz ali no lado direito da equação. Aí essa equação diferencial fica:
Certo?
Se são soluções, então isso PRECISA acontecer:
Beleza?
E nos pergunta se a diferença dessas soluções é solução da equação
Notem que temos agora um no lado direito! Isso significa que queremos saber se uma combinação linear dessas soluções é solução da equação diferencial homogênea associada!
Uma combinação linear é quando temos uma soma de funções com coeficientes, assim:
Seja qualquer equação diferencial e se o problema nos diz que uma função é solução, você precisa lembrar que se substituirmos essa solução na equação, vai dar certo!
Nesse caso o dar certo é achar um !
Beleza?
Então, aqui o problema nos diz que e são soluções, então elas individualmente satisfazem a equação diferencial. Então para saber se a combinação linear delas também satisfaz, precisamos substituir essa combinação na equação e ver o que dá!
Passo 2
E a equação diferencial:
Agora vamos jogar na equação:
Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:
E isso serve para a derivada segunda também!
Certo?
Agora vou substituir isso ali na equação:
Passo 3
Agora vamos reorganizar esses termos pra que (e suas derivadas) fiquem pertinho, e fazer o mesmo com a :
Mas, pera aí! Volta lá no passo 1 comigo. A gente tinha que as soluções individuais eram soluções da equação diferencial não homogênea:
Sendo assim, podemos substituir por e também por :
Opa! Encontramos uma igualdade matemática! Isso significa que, uma vez que as funções e sejam soluções da equação diferencial não homogênea, a combinação linear delas vai ser solução da equação diferencial HOMOGÊNEA associada!
Então a afirmativa está correta! Marcamos verdadeiro.
Tranquilo?
Espero ter ajudado!